Упр.30.55 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}\le 0$$;
  б) $$(\sin x+\cos x)\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x+\cos x}\ge 0$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}\le 0.$$

Область определения задаётся условиями

$$\sin x\ge 0,\qquad \cos x\ge 0.$$

На этой области оба слагаемых неотрицательны, значит левая часть неравенства не может быть отрицательной. Поэтому нужно, чтобы она равнялась нулю:

$$\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}=0.$$

Это возможно, когда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

С учётом условий области определения получаем

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Но одновременно должны выполняться $$\sin x\ge 0$$ и $$\cos x\ge 0$$, поэтому остаются только точки

$$x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\left(\sin x+\cos x\right)\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x+\cos x}\ge 0.$$

Область определения:

$$\cos x\ge 0,\qquad \sin x+\cos x\ge 0.$$

Так как $$\cos x\ge 0$$, то при $$\cos x>0$$ можно разделить второе условие на $$\cos x$$:

$$\tan x+1\ge 0,$$

то есть

$$\tan x\ge -1.$$

Тогда система условий сводится к

$$\cos x>0,\qquad \tan x\ge -1.$$

На промежутке $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ неравенство $$\tan x\ge -1$$ даёт

$$x\ge -\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

С учётом $$\cos x>0$$ получаем

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$