Упр.30.54 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$x\sqrt{\frac{x+1}{x}}+(x+1)\sqrt{\frac{x}{x+1}}\leq 2\sqrt{2};$$
   б) $$(x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}}+(x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}}\geq 4\sqrt{2}.$$

Рассмотрим неравенство

$$x\sqrt{\frac{x+1}{x}}+(x+1)\sqrt{\frac{x}{x+1}}\le 2\sqrt2.$$

Область определения задаётся условиями

$$\frac{x+1}{x}\ge 0,\qquad \frac{x}{x+1}\ge 0,$$

откуда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>0.$$

Преобразуем левую часть:

$$x\sqrt{\frac{x+1}{x}}=\sqrt{x(x+1)},\qquad (x+1)\sqrt{\frac{x}{x+1}}=\sqrt{x(x+1)}.$$

Тогда

$$2\sqrt{x(x+1)}\le 2\sqrt2,$$

или

$$\sqrt{x(x+1)}\le \sqrt2.$$

Возводим в квадрат:

$$x(x+1)\le 2,$$

$$x^2+x-2\le 0,$$

$$(x+2)(x-1)\le 0.$$

Отсюда

$$-2\le x\le 1.$$

Пересекаем с областью определения:

$$[-2;1]\cap\bigl((-\infty;-1)\cup(0;+\infty)\bigr)=(-2;-1)\cup(0;1].$$

При $$x<-1$$ исходное неравенство выполняется, так как левая часть отрицательна, а правая положительна. Поэтому левый конец можно включить в ответ как область, где неравенство также верно по ОДЗ и знаку выражения.

Ответ: $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;1].$$