Упр.30.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\sqrt{2-x}-\sqrt[3]{3x+5}<3$$; б) $$\sqrt{2x-1}+\sqrt[3]{x+7}\geq 3$$.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{2-x}-\sqrt[3]{3x+5}<3.$$

Перенесём корень в правую часть:

$$\sqrt{2-x}<3+\sqrt[3]{3x+5}.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{2-x}, \qquad g(x)=3+\sqrt[3]{3x+5}.$$

На области определения $$x\le 2$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает. Значит, неравенство выполняется между точками пересечения графиков.

Найдём точку пересечения:

$$f(-2)=\sqrt{2-(-2)}=\sqrt4=2,$$

$$g(-2)=3+\sqrt[3]{3\cdot(-2)+5}=3+\sqrt[3]{-1}=3-1=2.$$

Следовательно, графики пересекаются при $$x=-2$$. Так как неравенство строгое, точка $$x=-2$$ не входит в решение, а при $$x=2$$ левая часть определена и неравенство выполняется. Поэтому

$$x\in(-2;2].$$

б) $$\sqrt{2x-1}+\sqrt[3]{x+7}\ge 3.$$

Перепишем:

$$\sqrt{2x-1}\ge 3-\sqrt[3]{x+7}.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{2x-1}, \qquad g(x)=3-\sqrt[3]{x+7}.$$

Область определения: $$2x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge \frac12.$$

На луче $$\left[\frac12;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, достаточно найти точку их пересечения:

$$f(1)=\sqrt{2\cdot1-1}=\sqrt1=1,$$

$$g(1)=3-\sqrt[3]{1+7}=3-2=1.$$

Графики пересекаются при $$x=1$$, и так как дальше $$f(x)$$ растёт, а $$g(x)$$ убывает, неравенство выполняется при

$$x\in[1;+\infty).$$