Упр.30.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}+4\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}>4$$;

б) $$5\sqrt{\frac{x+3}{5x-1}}+\sqrt{\frac{5x-1}{2x+3}}<6$$.

а) Обозначим

$$y=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}, \qquad y>0.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$y+\frac{4}{y}>4.$$

Умножим на $$y>0$$:

$$y^2-4y+4>0,$$

$$\left(y-2\right)^2>0.$$

Значит, $$y\neq 2$$, то есть

$$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}\neq 2.$$

Кроме того, должно выполняться

$$\frac{2x+3}{2x-1}>0.$$

Решаем это неравенство:

$$x<-\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x>\frac{1}{2}.$$

Теперь исключим значение, при котором $$y=2$$:

$$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}=2 \;\Longrightarrow\; \frac{2x+3}{2x-1}=4,$$

$$2x+3=8x-4,$$

$$6x=7,$$

$$x=\frac{7}{6}.$$

Итак,

$$x\in\left(-\infty;-\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2};\frac{7}{6}\right)\cup\left(\frac{7}{6};+\infty\right).$$

б) Обозначим

$$y=\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}, \qquad y>0.$$

Тогда неравенство перепишется так:

$$\frac{5}{y}+y<6.$$

Умножим на $$y>0$$:

$$y^2-6y+5<0,$$

$$\left(y-1\right)\left(y-5\right)<0.$$

Отсюда

$$1<y<5.$$

Значит,

$$1<\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}<5.$$

Решим по частям:

$$\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}>1 \;\Longrightarrow\; \frac{5x-1}{x+3}>1,$$

$$\frac{4x-4}{x+3}>0,$$

$$\frac{x-1}{x+3}>0,$$

откуда $$x<-3$$ или $$x>1.$$

Далее

$$\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}<5 \;\Longrightarrow\; \frac{5x-1}{x+3}<25,$$

$$\frac{5x-1-25x-75}{x+3}<0,$$

$$\frac{-20x-76}{x+3}<0,$$

$$\frac{20x+76}{x+3}>0,$$

$$\frac{5x+19}{x+3}>0,$$

откуда $$x<-3$$ или $$x>-\frac{19}{5}.$$

Пересекаем полученные решения:

$$\left(\left(-\infty;-3\right)\cup\left(1;+\infty\right)\right)\cap\left(\left(-\infty;-3\right)\cup\left(-\frac{19}{5};+\infty\right)\right)=\left(-\infty;-3\right)\cup\left(1;+\infty\right).$$

Ответ: а) $$x\in\left(-\infty;-\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2};\frac{7}{6}\right)\cup\left(\frac{7}{6};+\infty\right);$$ б) $$x\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(1;+\infty\right).$$