Упр.30.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$t=\sqrt{x^2+x}.$$ Тогда $$t\ge 0$$ и неравенство принимает вид

$$t\le 3t^2-4.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3t^2-t-4\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=1+48=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{6},\quad t_1=-1,\quad t_2=\frac43.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$t\le -1 \quad \text{или} \quad t\ge \frac43.$$

С учётом условия $$t\ge 0$$ остаётся только

$$t\ge \frac43.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sqrt{x^2+x}\ge \frac43,$$

$$x^2+x\ge \frac{16}{9},$$

$$9x^2+9x-16\ge 0.$$

Найдём корни этого квадратного трёхчлена:

$$D=81+576=657=9\cdot 73,$$

$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 3\sqrt{73}}{18}=\frac{-3\pm \sqrt{73}}{6}.$$

Тогда

$$x\in \left(-\infty;\frac{-3-\sqrt{73}}{6}\right]\cup \left[\frac{-3+\sqrt{73}}{6};+\infty\right).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$x+3+\sqrt{2x^2-x-1}\ge 2x^2.$$

Перенесём:

$$\sqrt{2x^2-x-1}\ge 2x^2-x-3.$$

Пусть

$$t=2x^2-x-1,$$

тогда неравенство имеет вид

$$\sqrt{t}\ge t-2.$$

Сначала найдём область определения:

$$t\ge 0,$$

то есть

$$2x^2-x-1\ge 0,$$

$$(2x+1)(x-1)\ge 0,$$

$$x\le -\frac12 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Теперь решим неравенство $$\sqrt{t}\ge t-2.$$

Если $$t-2\le 0,$$ то неравенство выполняется при всех $$t\ge 0$$, то есть

$$0\le t\le 2.$$

Если $$t-2>0,$$ то можно возвести в квадрат:

$$t\ge (t-2)^2,$$

$$t^2-5t+4\le 0,$$

$$(t-1)(t-4)\le 0,$$

$$1\le t\le 4.$$

Итак, получаем

$$0\le t\le 4.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$0\le 2x^2-x-1\le 4.$$

Из правой части:

$$2x^2-x-5\le 0,$$

$$D=1+40=41,$$

$$x=\frac{1\pm \sqrt{41}}{4},$$

значит

$$\frac{1-\sqrt{41}}{4}\le x\le \frac{1+\sqrt{41}}{4}.$$

Пересекаем это с областью определения $$x\le -\frac12$$ или $$x\ge 1$$:

$$x\in \left[\frac{1-\sqrt{41}}{4};-\frac12\right]\cup \left[1;\frac{1+\sqrt{41}}{4}\right].$$

Ответ: а) $$x\in \left(-\infty;\frac{-3-\sqrt{73}}{6}\right]\cup \left[\frac{-3+\sqrt{73}}{6};+\infty\right);$$ б) $$x\in \left[\frac{1-\sqrt{41}}{4};-\frac12\right]\cup \left[1;\frac{1+\sqrt{41}}{4}\right].$$