Упр.30.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-4}-\sqrt{4x+5}<0$$; б) $$2\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}-2\sqrt{x-3}>0$$; в) $$2\sqrt{2x-7}-\sqrt{x-4}\geq 2\sqrt{x-3}$$; г) $$\sqrt{6-x}+\sqrt{3x-5}\leq\sqrt{4x+1}$$.
а) Рассмотрим неравенство
$$\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-4}-\sqrt{4x+5}<0.$$
Перенесём один корень вправо:
$$\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-4}<\sqrt{4x+5}.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x+1+2\sqrt{(3x+1)(x-4)}+x-4<4x+5,$$
$$2\sqrt{(3x+1)(x-4)}<8,$$
$$\sqrt{(3x+1)(x-4)}<4.$$
Снова возведём в квадрат:
$$(3x+1)(x-4)<16,$$
$$3x^2-11x-4<16,$$
$$3x^2-11x-20<0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=11^2+4\cdot 3\cdot 20=361,$$
$$x_1=\frac{11-19}{6}=-\frac43,\qquad x_2=\frac{11+19}{6}=5.$$
Тогда
$$\left(x+\frac43\right)(x-5)<0,$$
откуда
$$-\frac43<x<5.$$
С учётом области определения:
$$3x+1\ge 0,\quad x-4\ge 0,\quad 4x+5\ge 0,$$
получаем
$$x\ge -\frac13,\quad x\ge 4,\quad x\ge -\frac54.$$
Значит, $$x\ge 4.$$
Итак,
$$x\in[4;5).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$2\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}-2\sqrt{x-3}>0.$$
Перенесём корни вправо:
$$2\sqrt{x+1}>\sqrt{x-1}+2\sqrt{x-3}.$$
Возведём в квадрат:
$$4(x+1)>(x-1)+4\sqrt{(x-1)(x-3)}+4(x-3),$$
$$4\sqrt{(x-1)(x-3)}<17-x.$$
Отсюда обязательно $$17-x>0,$$ то есть $$x<17.$$
Теперь возведём в квадрат:
$$16(x-1)(x-3)<(17-x)^2,$$
$$16x^2-64x+48<x^2-34x+289,$$
$$15x^2-30x-241<0.$$
Найдём корни:
$$D=30^2+4\cdot 15\cdot 241=15360,$$
$$x_{1,2}=\frac{30\pm\sqrt{15360}}{30}=1\pm\frac{16\sqrt{15}}{15}.$$
Тогда
$$1-\frac{16\sqrt{15}}{15}<x<1+\frac{16\sqrt{15}}{15}.$$
С учётом области определения:
$$x-1\ge 0,\quad x-3\ge 0,$$
то есть $$x\ge 3.$$
Следовательно,
$$x\in\left[3;1+\frac{16\sqrt{15}}{15}\right).$$
в) Рассмотрим неравенство
$$2\sqrt{2x-7}-\sqrt{x-4}\ge 2\sqrt{x-3}.$$
Перенесём корни вправо:
$$2\sqrt{2x-7}\ge 2\sqrt{x-3}+\sqrt{x-4}.$$
Возведём в квадрат:
$$4(2x-7)\ge 4(x-3)+(x-4)+4\sqrt{(x-3)(x-4)},$$
$$4\sqrt{(x-3)(x-4)}\le 3x-12.$$
Отсюда $$3x-12\ge 0,$$ значит $$x\ge 4.$$
Теперь возведём в квадрат:
$$16(x-3)(x-4)\le (3x-12)^2,$$
$$16x^2-112x+192\le 9x^2-72x+144,$$
$$7x^2-40x+48\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=40^2-4\cdot 7\cdot 48=256,$$
$$x_1=\frac{40-16}{14}=\frac{12}{7},\qquad x_2=\frac{40+16}{14}=4.$$
Тогда
$$\left(x-\frac{12}{7}\right)(x-4)\le 0,$$
то есть
$$\frac{12}{7}\le x\le 4.$$
С учётом области определения $$x\ge 4$$ получаем
$$x=4.$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\sqrt{6-x}+\sqrt{3x-5}\le \sqrt{4x+1}.$$
Возведём в квадрат:
$$6-x+2\sqrt{(6-x)(3x-5)}+3x-5\le 4x+1,$$
$$2\sqrt{(6-x)(3x-5)}\le 2x.$$
Значит, $$x\ge 0.$$
Снова возведём в квадрат:
$$(6-x)(3x-5)\le x^2,$$
$$-3x^2+23x-30\le x^2,$$
$$4x^2-23x+30\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=23^2-4\cdot 4\cdot 30=49,$$
$$x_1=\frac{23-7}{8}=2,\qquad x_2=\frac{23+7}{8}=\frac{15}{4}.$$
Тогда
$$\left(x-2\right)\left(x-\frac{15}{4}\right)\ge 0,$$
откуда
$$x\le 2\quad \text{или}\quad x\ge \frac{15}{4}.$$
С учётом области определения
$$6-x\ge 0,\quad 3x-5\ge 0,\quad 4x+1\ge 0,$$
то есть
$$x\le 6,\quad x\ge \frac53,\quad x\ge -\frac14,$$
получаем
$$x\in\left[\frac53;2\right]\cup\left[\frac{15}{4};6\right].$$
Ответ
а) $$x\in[4;5)$$; б) $$x\in\left[3;1+\frac{16\sqrt{15}}{15}\right)$$; в) $$x=4$$; г) $$x\in\left[\frac53;2\right]\cup\left[\frac{15}{4};6\right].$$
