Упр.30.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\frac{\sqrt{17-15x-2x^2}}{x+3}>0$$; в) $$\frac{\sqrt{10-7x+x^2}}{x-1}>0$$; б) $$\frac{\sqrt{14-11x-3x^2}}{x+3}\leq 0$$; г) $$\frac{\sqrt{12+8x+x^2}}{x+5}\leq 0$$.
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{17-15x-2x^2}}{x+3}>0.$$
Чтобы дробь была положительной, нужно:
- $$\sqrt{17-15x-2x^2}>0,$$
- $$x+3>0.$$
Из второго условия получаем $$x>-3.$$
Из первого условия:
$$17-15x-2x^2>0,$$
$$2x^2+15x-17<0.$$
Найдём корни уравнения $$2x^2+15x-17=0$$:
$$D=15^2+4\cdot 2\cdot 17=225+136=361,$$
$$x_{1,2}=\frac{-15\pm 19}{4}, \quad x_1=-\frac{17}{2}, \quad x_2=1.$$
Тогда
$$2x^2+15x-17<0 \quad \Rightarrow \quad x\in\left(-\frac{17}{2};1\right).$$
Пересекаем с условием $$x>-3$$:
$$x\in(-3;1).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{14-11x-3x^2}}{x+3}\le 0.$$
Так как числитель неотрицателен, то дробь будет неположительной при
- $$\sqrt{14-11x-3x^2}=0,$$
- или $$\sqrt{14-11x-3x^2}>0$$ и $$x+3<0.$$
1) Если $$\sqrt{14-11x-3x^2}=0,$$ то
$$14-11x-3x^2=0,$$
$$3x^2+11x-14=0.$$
$$D=11^2+4\cdot 3\cdot 14=121+168=289,$$
$$x_{1,2}=\frac{-11\pm 17}{6}, \quad x_1=-\frac{14}{3}, \quad x_2=1.$$
Значит, подходят точки $$x=-\frac{14}{3}$$ и $$x=1$$, кроме тех, где знаменатель равен нулю.
2) Если $$\sqrt{14-11x-3x^2}>0,$$ то
$$14-11x-3x^2>0,$$
$$3x^2+11x-14<0,$$
откуда
$$x\in\left(-\frac{14}{3};1\right).$$
С учётом условия $$x<-3$$ получаем
$$x\in\left[-\frac{14}{3};-3\right).$$
Итак,
$$x\in\left[-\frac{14}{3};-3\right)\cup\{1\}.$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{10-7x+x^2}}{x-1}>0.$$
Чтобы дробь была положительной, нужно:
- $$\sqrt{10-7x+x^2}>0,$$
- $$x-1>0.$$
Из второго условия: $$x>1.$$
Из первого условия:
$$10-7x+x^2>0,$$
$$x^2-7x+10>0,$$
$$(x-2)(x-5)>0.$$
Отсюда
$$x<2 \quad \text{или} \quad x>5.$$
С учётом $$x>1$$ получаем
$$x\in(1;2)\cup(5;+\infty).$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{12+8x+x^2}}{x+5}\le 0.$$
Так как числитель неотрицателен, то дробь неположительна, если
- $$\sqrt{12+8x+x^2}=0,$$
- или $$\sqrt{12+8x+x^2}>0$$ и $$x+5<0.$$
1) Если $$\sqrt{12+8x+x^2}=0,$$ то
$$x^2+8x+12=0,$$
$$(x+6)(x+2)=0,$$
откуда $$x=-6$$ или $$x=-2.$$
2) Если $$\sqrt{12+8x+x^2}>0,$$ то
$$x^2+8x+12>0,$$
$$(x+6)(x+2)>0,$$
$$x\in(-\infty;-6)\cup(-2;+\infty).$$
С учётом условия $$x<-5$$ получаем
$$x\in(-\infty;-6).$$
Объединяя с корнями уравнения, имеем
$$x\in(-\infty;-6]\cup\{-2\}.$$
Ответ: а) $$(-3;1)$$; б) $$\left[-\frac{14}{3};-3\right)\cup\{1\}$$; в) $$(1;2)\cup(5;+\infty)$$; г) $$(-\infty;-6]\cup\{-2\}$$.
