Упр.30.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\sqrt{x^4-3x^2+4}
Рассмотрим неравенства по отдельности.
а)
$$\sqrt{x^4-3x^2+4}<x^2-5$$
Чтобы неравенство с корнем было верным, правая часть должна быть положительной, а подкоренное выражение — неотрицательным:
$$x^2-5>0,$$
$$x^4-3x^2+4\ge 0.$$
Кроме того, возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x^2+4<(x^2-5)^2=x^4-10x^2+25.$$
Тогда
$$7x^2-21<0,$$
$$x^2-3<0,$$
$$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}.$$
Но одновременно должно выполняться $$x^2-5>0,$$ то есть
$$x<-\sqrt{5}\quad \text{или}\quad x>\sqrt{5}.$$
Пересечения множеств $$(-\sqrt{3},\sqrt{3})$$ и $$(-\infty,-\sqrt{5})\cup(\sqrt{5},\infty)$$ нет.
б)
$$\sqrt{x^4-3x^2+4}>x^2-5$$
Здесь достаточно учесть, что
$$x^4-3x^2+4\ge 0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x^2+4>(x^2-5)^2=x^4-10x^2+25.$$
Получаем
$$7x^2-21>0,$$
$$x^2-3>0,$$
$$x<-\sqrt{3}\quad \text{или}\quad x>\sqrt{3}.$$
При этом правая часть $$x^2-5$$ может быть как отрицательной, так и положительной, а подкоренное выражение всегда положительно:
$$x^4-3x^2+4=\left(x^2-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0.$$
Следовательно, найденные значения подходят.
Ответ
а) $$\varnothing$$; б) $$x\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty).$$
