Упр.30.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sqrt{(x+2)(x-5)}<8-x$$;
  б) $$\sqrt{x^2-4x}>x-3$$;
  в) $$\sqrt{x^2-5x+6}\leq x+4$$;
  г) $$\sqrt{3x^2-22x}\geq 2x-7$$.

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1. $$\sqrt{(x+2)(x-5)}<8-x.$$

   Чтобы корень был определён, нужно

   $$(x+2)(x-5)\ge 0.$$

   Кроме того, правая часть должна быть положительной:

   $$8-x>0,\quad x<8.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$(x+2)(x-5)<(8-x)^2$$

   $$x^2-3x-10<x^2-16x+64$$

   $$13x<74,\quad x<\frac{74}{13}.$$

   Теперь учитываем ОДЗ:

   $$(x+2)(x-5)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;-2]\cup[5;+\infty).$$

   Пересекаем с условием $$x<\frac{74}{13}$$:

   $$x\in(-\infty;-2]\cup\left[5;\frac{74}{13}\right).$$

2. $$\sqrt{x^2-4x}>x-3.$$

   ОДЗ:

   $$x^2-4x\ge 0 \;\Rightarrow\; x(x-4)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;0]\cup[4;+\infty).$$

   Так как левая часть неотрицательна, а правая должна быть меньше неё, рассмотрим условие $$x-3<0$$, то есть $$x<3.$$

   Тогда автоматически выполняется

   $$x^2-4x>(x-3)^2,$$

   что даёт

   $$x^2-4x>x^2-6x+9,$$

   $$2x>9,\quad x>\frac92.$$

   Совмещая с ОДЗ, получаем:

   $$x\in(-\infty;0]\cup\left(\frac92;+\infty\right).$$

3. $$\sqrt{x^2-5x+6}\le x+4.$$

   Необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной:

   $$x+4\ge 0,\quad x\ge -4.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-5x+6\le (x+4)^2$$

   $$x^2-5x+6\le x^2+8x+16$$

   $$13x\ge -10,\quad x\ge -\frac{10}{13}.$$

   ОДЗ для корня:

   $$x^2-5x+6\ge 0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x-3)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 2 \text{ или } x\ge 3.$$

   Итак,

   $$x\in\left[-\frac{10}{13};2\right]\cup[3;+\infty).$$

4. $$\sqrt{3x^2-22x}\ge 2x-7.$$

   Если $$2x-7\le 0$$, то неравенство выполняется при всех $$x$$ из ОДЗ. Проверим ОДЗ:

   $$3x^2-22x\ge 0 \;\Rightarrow\; x(3x-22)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;0]\cup\left[\frac{22}{3};+\infty\right).$$

   При $$x\le \frac72$$ правая часть не положительна, значит неравенство верно на всей этой части ОДЗ. Тогда получаем

   $$x\in(-\infty;0].$$

   Если же $$2x-7>0$$, то можно возвести обе части в квадрат:

   $$3x^2-22x\ge (2x-7)^2$$

   $$3x^2-22x\ge 4x^2-28x+49$$

   $$x^2-6x+49\le 0.$$

   Но

   $$D=36-196=-160<0,$$

   а значит, решений нет.

   Итог:

   $$x\in(-\infty;0].$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-2]\cup\left[5;\frac{74}{13}\right)$$; б) $$x\in(-\infty;0]\cup\left(\frac92;+\infty\right)$$; в) $$x\in\left[-\frac{10}{13};2\right]\cup[3;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;0].$$