Упр.30.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите неравенство:
- а) $$\sqrt{x}+6
б) $$\sqrt{5+12x-x^2}>x-7$$;
г) $$\sqrt{2x^3+x+3}\geq x\sqrt{6}$$.
а) $$\sqrt{x+6}<x$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$x>0.$$ Возведём обе части в квадрат:
$$x+6<x^2$$
$$x^2-x-6>0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-3\right)>0$$
Отсюда $$x<-2$$ или $$x>3.$$ С учётом условия $$x>0$$ получаем:
$$x\in(3;+\infty).$$
б) $$\sqrt{5+12x-x^2}>x-7$$
Рассмотрим два случая.
Если $$x-7<0,$$ то $$x<7.$$ Тогда достаточно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$5+12x-x^2\ge 0$$
$$x^2-12x-5\le 0$$
$$x=6\pm\sqrt{41}.$$
Значит, $$x\in\left[6-\sqrt{41};\,6+\sqrt{41}\right].$$
Если $$x-7\ge 0,$$ то $$x\ge 7.$$ Возведём обе части в квадрат:
$$5+12x-x^2>\left(x-7\right)^2$$
$$2x^2-26x+44<0$$
$$x^2-13x+22<0$$
$$\left(x-2\right)\left(x-11\right)<0,$$
откуда $$2<x<11.$$ С учётом $$x\ge 7$$ получаем $$x\in[7;11).$$
Объединяя результаты, имеем:
$$x\in\left[6-\sqrt{41};\,11\right).$$
в) $$\sqrt{2x^3+x^2-20}\le x$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$x\ge 0.$$ При этом
$$2x^3+x^2-20\le x^2$$
$$2x^3\le 20$$
$$x^3\le 10$$
$$x\le \sqrt[3]{10}.$$
Проверим условие существования корня:
$$2x^3+x^2-20\ge 0$$
$$\left(x-2\right)\left(2x^2+5x+10\right)\ge 0.$$
Так как $$2x^2+5x+10>0$$ при всех $$x,$$ то $$x\ge 2.$$
Итак,
$$x\in\left[2;\sqrt[3]{10}\right].$$
г) $$\sqrt{2x^3+x+3}\ge x\sqrt6$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\le 0,$$ то правая часть не положительна, а левая часть определена при
$$2x^3+x+3\ge 0.$$
Разложим:
$$2x^3+x+3=\left(x+1\right)\left(2x^2-2x+3\right).$$
Так как $$2x^2-2x+3>0$$ при всех $$x,$$ то $$2x^3+x+3\ge 0$$ при $$x\ge -1.$$ Значит, в этом случае
$$x\in[-1;0].$$
Если $$x>0,$$ то можно возвести обе части в квадрат:
$$2x^3+x+3\ge 6x^2$$
$$2x^3-6x^2+x+3\ge 0$$
$$\left(x-1\right)\left(2x^2-4x-3\right)\ge 0.$$
Корни квадратного трёхчлена:
$$x=1\pm\sqrt{\frac52}.$$
Тогда при $$x>0$$ получаем
$$x\in\left[1+\sqrt{\frac52};+\infty\right).$$
Итак,
$$x\in[-1;1]\cup\left[1+\sqrt{\frac52};+\infty\right).$$
