Упр.30.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Если $$\sqrt{f(x)}<h(x),$$ то правая часть должна быть положительной, то есть $$h(x)>0.$$

Возведём обе части неравенства в квадрат:

$$f(x)<h^2(x).$$

Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$f(x)\ge 0.$$

Итак, исходное неравенство равносильно системе

$$\begin{cases} f(x)<h^2(x),\\ h(x)>0,\\ f(x)\ge 0. \end{cases}$$

б) Если $$\sqrt{f(x)}>h(x),$$ то рассмотрим два случая.

1) Если $$h(x)<0,$$ то неравенство выполняется при любом $$x$$ из области определения, так как $$\sqrt{f(x)}\ge 0>h(x).$$

2) Если $$h(x)\ge 0,$$ то можно возвести обе части в квадрат:

$$f(x)>h^2(x).$$

При этом обязательно должно выполняться $$f(x)\ge 0.$$

Следовательно, исходное неравенство равносильно совокупности систем

$$\begin{cases} f(x)\ge 0,\\ f(x)>h^2(x),\\ h(x)<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ f(x)>h^2(x),\\ h(x)\ge 0. \end{cases}$$

Что и требовалось доказать.