Упр.30.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Для каждого значения параметра $$a$$ решите неравенство:
а) $$\sqrt{x+2}>\sqrt{2a-x}$$;
б) $$\sqrt{x-2a}\geq\sqrt{4+2a-5x}$$;
в) $$\sqrt{5a-2x+1}<\sqrt{6x-a-7}$$;
г) $$\sqrt{4-x^2}\leq\sqrt{4x+a}$$.

а) $$\sqrt{x+2}>\sqrt{2a-x}$$

Так как корень — возрастающая функция, получаем систему:

$$\begin{cases} x+2>2a-x,\\ x+2\ge 0,\\ 2a-x\ge 0. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$2x>2a-2,\qquad x>a-1.$$

Из области определения:

$$x\ge -2,\qquad x\le 2a.$$

Нужно, чтобы промежуток решений был непустым:

$$a-1<2a,\qquad a>-1.$$

Значит,

$$\begin{cases} a>-1, & x\in(a-1;\,2a],\\ a\le -1, & \text{решений нет}. \end{cases}$$

б) $$\sqrt{x-2a}\ge \sqrt{4+2a-5x}$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} x-2a\ge 4+2a-5x,\\ x-2a\ge 0,\\ 4+2a-5x\ge 0. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$6x\ge 4+4a,\qquad x\ge \frac{2(a+1)}{3}.$$

Из области определения:

$$x\ge 2a,\qquad x\le \frac{2a+4}{5}.$$

Чтобы решения существовали, нужно

$$\frac{2(a+1)}{3}\le \frac{2a+4}{5}.$$

Тогда

$$10(a+1)\le 6a+12,\qquad 4a\le 2,\qquad a\le \frac12.$$

При $$a<\frac12$$ имеем

$$x\in\left[\frac{2(a+1)}{3};\,\frac{2a+4}{5}\right].$$

При $$a=\frac12$$ получаем

$$x=1.$$

При $$a>\frac12$$ решений нет.

в) $$\sqrt{5a-2x+1}<\sqrt{6x-a-7}$$

Составим систему:

$$\begin{cases} 5a-2x+1<6x-a-7,\\ 5a-2x+1\ge 0,\\ 6x-a-7\ge 0. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$8x>6a+8,\qquad x>\frac{3a}{4}+1.$$

Из области определения:

$$x\le \frac{5a+1}{2},\qquad x\ge \frac{a+7}{6}.$$

Для существования решений нужно

$$\frac{3a}{4}+1<\frac{5a+1}{2}.$$

Отсюда

$$3a+4<10a+2,\qquad 2<7a,\qquad a>\frac27.$$

Значит,

$$\begin{cases} a>\frac27, & x\in\left(\frac{3a}{4}+1;\,\frac{5a+1}{2}\right],\\ a\le \frac27, & \text{решений нет}. \end{cases}$$

г) $$\sqrt{4-x^2}\le \sqrt{4x+a}$$

Равносильно системе:

$$\begin{cases} 4-x^2\ge 0,\\ 4-x^2\le 4x+a. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} -2\le x\le 2,\\ x^2+4x+(a-4)\ge 0. \end{cases}$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен:

$$D=4^2-4(a-4)=32-4a=4(8-a).$$

1) Если $$a\ge 8,$$ то $$D\le 0,$$ и неравенство $$x^2+4x+(a-4)\ge 0$$ выполняется при всех $$x.$$ Тогда

$$x\in[-2;\,2].$$

2) Если $$a<8,$$ то корни трёхчлена:

$$x_{1,2}=-2\pm \sqrt{8-a}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$x\le -2-\sqrt{8-a}\quad \text{или}\quad x\ge -2+\sqrt{8-a}.$$

С учётом $$-2\le x\le 2$$ остаётся:

$$x\in\left[-2+\sqrt{8-a};\,2\right]$$

при условии, что $$-2+\sqrt{8-a}\le 2,$$ то есть

$$\sqrt{8-a}\le 4,\qquad a\ge -8.$$

Итак,

$$\begin{cases} a>8, & x\in[-2;\,2],\\ -8\le a<8, & x\in\left[-2+\sqrt{8-a};\,2\right],\\ a<-8, & \text{решений нет}. \end{cases}$$