Упр.30.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt{\lg(10-5x)} \ge \sqrt{\lg x}$$

б) $$\sqrt{\log_{0,3}(18-7x)} \le \sqrt{\log_{0,3}(0,25x)}$$

а) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{\lg(10-5x)}\ge \sqrt{\lg x}.$$

Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, получаем систему:

$$\begin{cases} \lg(10-5x)\ge \lg x,\\ \lg(10-5x)\ge 0,\\ \lg x\ge 0. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$10-5x\ge x \;\Rightarrow\; 6x\le 10 \;\Rightarrow\; x\le \frac53.$$

Из условий области определения:

$$\lg x\ge 0 \Rightarrow x\ge 1, \qquad \lg(10-5x)\ge 0 \Rightarrow 10-5x\ge 1 \Rightarrow x\le \frac95.$$

Тогда

$$x\in \left[1;\frac53\right].$$

б) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{\log_{0,3}(18-7x)}\le \sqrt{\log_{0,3}(0,25x)}.$$

Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, получаем систему:

$$\begin{cases} \log_{0,3}(18-7x)\le \log_{0,3}(0,25x),\\ \log_{0,3}(18-7x)\ge 0,\\ \log_{0,3}(0,25x)\ge 0. \end{cases}$$

Так как основание $$0,3<1$$, логарифмическая функция убывает, поэтому из первого неравенства:

$$18-7x\ge 0,25x \;\Rightarrow\; 18\ge 7,25x \;\Rightarrow\; x\le \frac{72}{29}.$$

Из условий области определения:

$$\log_{0,3}(18-7x)\ge 0 \Rightarrow 0<18-7x\le 1 \Rightarrow \frac{17}{7}\le x<\frac{18}{7},$$

$$\log_{0,3}(0,25x)\ge 0 \Rightarrow 0<0,25x\le 1 \Rightarrow 0<x\le 4.$$

Пересечение всех условий:

$$x\in \left[\frac{17}{7};\frac{72}{29}\right].$$

Ответ

а) $$x\in \left[1;\frac53\right]$$; б) $$x\in \left[\frac{17}{7};\frac{72}{29}\right].$$