Упр.30.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt{\sin x}<\sqrt{\cos x}$$;
б) $$\sqrt{2-\sqrt{3}\sin 2x}>\cos 2x$$.

а) $$\sqrt{\sin x}<\sqrt{\cos x}$$

Так как корень квадратный определён только при неотрицательном подкоренном выражении, получаем систему:

$$\begin{cases} \sin x<\cos x,\\ \sin x\ge 0,\\ \cos x\ge 0. \end{cases}$$

Из неравенства $$\sin x<\cos x$$ имеем

$$\tg x<1.$$

С учётом области определения $$\sin x\ge 0$$ и $$\cos x\ge 0$$ получаем

$$2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

На этом промежутке условие $$\tg x<1$$ даёт

$$2\pi n\le x<\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

Итак,

$$x\in\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{2-\sqrt3\sin 2x}>\sqrt{\cos 2x}$$

Сначала найдём область определения:

$$\begin{cases} 2-\sqrt3\sin 2x\ge 0,\\ \cos 2x\ge 0. \end{cases}$$

Из неравенства

$$\sqrt{2-\sqrt3\sin 2x}>\sqrt{\cos 2x}$$

следует

$$2-\sqrt3\sin 2x>\cos 2x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2-\cos 2x-\sqrt3\sin 2x>0.$$

Используем формулу

$$\cos 2x+\sqrt3\sin 2x=2\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right).$$

Тогда

$$2-2\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)>0,$$

то есть

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)<1.$$

Это неравенство выполняется при всех значениях, кроме тех, где

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)=1.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{6}+2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Теперь учтём область определения $$\cos 2x\ge 0$$:

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 2x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Исключая точки $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$, получаем

$$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$