Упр.30.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите неравенство:
а) $$\sqrt{x-2}>\sqrt{4-x}$$;
б) $$\sqrt{x^3-x^2}\geq\sqrt{2-x-x^2}$$;
в) $$\sqrt{25-x^2}<\sqrt{5x-11}$$;
г) $$\sqrt{x^3-2x^2+3}\leq\sqrt{x^3+x^2-8x+8}$$.
а) Рассмотрим область определения:
$$x-2\ge 0,\quad 4-x\ge 0.$$
Отсюда
$$2\le x\le 4.$$
Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, то неравенство равносильно
$$x-2>4-x.$$
Решаем:
$$x-2>4-x \\\\ 2x>6 \\\\ x>3$$
Пересекаем с ОДЗ:
$$x\in(3;4].$$
б) Рассмотрим область определения:
$$x^3-x^2\ge 0,\quad 2-x-x^2\ge 0.$$
Первое неравенство:
$$x^3-x^2\ge 0 \\\\ x^2(x-1)\ge 0 \\\\ x\ge 1 \text{ или } x=0.$$
Второе неравенство:
$$2-x-x^2\ge 0 \\\\ x^2+x-2\le 0 \\\\ (x+2)(x-1)\le 0 \\\\ -2\le x\le 1.$$
Теперь решаем само неравенство:
$$x^3-x^2\ge 2-x-x^2 \\\\ x^3+x-2\ge 0 \\\\ (x-1)(x^2+x+2)\ge 0.$$
Так как $$x^2+x+2>0$$ при всех $$x$$, получаем
$$x\ge 1.$$
Пересечение с ОДЗ:
$$x\in\{1\}.$$
в) Рассмотрим область определения:
$$25-x^2\ge 0,\quad 5x-11\ge 0.$$
Отсюда
$$-5\le x\le 5,\quad x\ge \frac{11}{5}.$$
Так как корень возрастает, то
$$25-x^2<5x-11.$$
Решаем:
$$25-x^2<5x-11 \\\\ x^2+5x-36>0 \\\\ (x+9)(x-4)>0.$$
Отсюда
$$x<-9 \text{ или } x>4.$$
Пересечение с ОДЗ:
$$x\in(4;5].$$
г) Рассмотрим область определения:
$$x^3-2x^2+3\ge 0,\quad x^3+x^2-8x+8\ge 0.$$
Решаем первое неравенство:
$$x^3-2x^2+3\ge 0 \\\\ (x-1)(x^2-x-3)\ge 0.$$
Корни квадратного трёхчлена:
$$x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}.$$
Тогда
$$x\in\left[\frac{1-\sqrt{13}}{2};1\right]\cup\left[\frac{1+\sqrt{13}}{2};+\infty\right).$$
Решаем второе неравенство:
$$x^3+x^2-8x+8\ge 0 \\\\ (x-2)(x^2+3x-4)\ge 0 \\\\ (x-2)(x+4)(x-1)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in[-4;1]\cup[2;+\infty).$$
Теперь решаем само неравенство:
$$x^3-2x^2+3\le x^3+x^2-8x+8 \\\\ 3x^2-8x+5\ge 0 \\\\ (3x-5)(x-1)\ge 0.$$
Следовательно,
$$x\le 1 \text{ или } x\ge \frac{5}{3}.$$
Пересекаем все условия:
$$x\in[-4;1]\cup\left[\frac{5}{3};+\infty\right).$$
Ответ
а) $$x\in(3;4]$$; б) $$x\in\{1\}$$; в) $$x\in(4;5]$$; г) $$x\in[-4;1]\cup\left[\frac{5}{3};+\infty\right).$$
