Упр.30.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что неравенство $$\sqrt{f(x)} \le \sqrt{h(x)}$$ равносильно двойному неравенству $$0 \le f(x) \le h(x)$$.

Пусть выражения $$\sqrt{f(x)}$$ и $$\sqrt{h(x)}$$ имеют смысл. Тогда обязательно

$$f(x)\ge 0,\qquad h(x)\ge 0.$$

Докажем равносильность.

Если $$\sqrt{f(x)}\le \sqrt{h(x)},$$ то, возведя обе части в квадрат, получаем

$$f(x)\le h(x).$$

С учётом области определения имеем одновременно

$$0\le f(x)\le h(x).$$

Обратно, если

$$0\le f(x)\le h(x),$$

то обе части неравенства $$f(x)\le h(x)$$ неотрицательны, значит, можно извлечь квадратные корни и получить

$$\sqrt{f(x)}\le \sqrt{h(x)}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{f(x)}\le \sqrt{h(x)}\iff 0\le f(x)\le h(x).$$

Ответ

$$\sqrt{f(x)}\le \sqrt{h(x)}\iff 0\le f(x)\le h(x).$$