Упр.30.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt[4]{2\sin x}=1$$; б) $$\sqrt[6]{1-2\cos 4x}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$$; в) $$\sqrt[4]{4\tg\frac{x}{4}}=2$$; г) $$\sqrt[3]{2\sin 3x+1}=-1$$

а) $$\sqrt[4]{2\sin x}=1.$$

Возведём обе части в четвёртую степень:

$$2\sin x=1,$$

$$\sin x=\frac12.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt[6]{1-2\cos 4x}=\sqrt2-\sqrt3.$$

Правая часть отрицательна, так как $$\sqrt2-\sqrt3<0.$$

Левая часть неотрицательна при любых допустимых значениях, значит равенство невозможно.

Следовательно, корней нет.

в) $$\sqrt[4]{4\tg\frac{x}{4}}=2.$$

Возведём обе части в четвёртую степень:

$$4\tg\frac{x}{4}=16,$$

$$\tg\frac{x}{4}=4.$$

Тогда

$$\frac{x}{4}=\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=4\arctg 4+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sqrt[3]{2\sin 3x+1}=-1.$$

Возведём обе части в куб:

$$2\sin 3x+1=-1,$$

$$2\sin 3x=-2,$$

$$\sin 3x=-1.$$

Тогда

$$3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) корней нет; в) $$x=4\arctg 4+4\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ г) $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$