Упр.30.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите все действительные значения $$a$$, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно решение:

а) $$\sqrt{x-4}<2-a$$; б) $$\sqrt{16-x^2}

Чтобы неравенство имело хотя бы одно решение, правая часть должна быть больше наибольшего возможного значения левой части.

а)

$$\sqrt{x-4}<2-a$$

Область определения: $$x-4\ge 0,$$ то есть $$x\ge 4.$$

Левая часть неотрицательна, значит для существования решений нужно, чтобы

$$2-a>0.$$

Тогда можно выбрать достаточно большое значение $$x$$, при котором $$\sqrt{x-4}$$ будет меньше числа $$2-a$$.

Следовательно,

$$a<2.$$

б)

$$\sqrt{16-x^2}<a+1$$

Область определения: $$16-x^2\ge 0,$$ то есть $$-4\le x\le 4.$$

Левая часть принимает значения от $$0$$ до $$4$$, так как

$$0\le \sqrt{16-x^2}\le 4.$$

Чтобы неравенство имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы правая часть была больше минимального значения левой части:

$$a+1>0.$$

Отсюда

$$a>-1.$$

Ответ

а) $$a<2$$; б) $$a>-1$$.