Упр.30.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\sqrt{\lg(1-x)}\le 1$$;
   б) $$\log_{0,2}\sqrt[3]{6x^2-25}\ge -1$$;
   в) $$\log_{2}(x^2+3x-24)\le 2$$;
   г) $$\log_{0,25}\sqrt[4]{x^2-6x-11}\ge -0,5$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{\lg(1-x)}\le 1.$$

Так как корень квадратный определён только при неотрицательном подкоренном выражении, получаем систему:

$$\begin{cases} \lg(1-x)\ge 0,\\ \sqrt{\lg(1-x)}\le 1. \end{cases}$$

Из второго неравенства:

$$\lg(1-x)\le 1.$$

Тогда

$$0\le \lg(1-x)\le 1.$$

Отсюда

$$1\le 1-x\le 10.$$

Решаем двойное неравенство:

$$-9\le x\le 0.$$

Ответ: $$x\in[-9;0].$$

б) Решим неравенство $$\log_{0,2}\sqrt[3]{6x^2-25}\ge -1.$$

Так как основание $$0,2<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$\sqrt[3]{6x^2-25}\le 0,2^{-1}=5.$$

Тогда

$$6x^2-25\le 125,$$

$$6x^2\le 150,$$

$$x^2\le 25,$$

$$-5\le x\le 5.$$

Теперь учтём область определения логарифма:

$$\sqrt[3]{6x^2-25}>0,$$

$$6x^2-25>0,$$

$$x<-\frac{5}{\sqrt6}\quad \text{или}\quad x>\frac{5}{\sqrt6}.$$

Пересекаем с $$[-5;5]$$:

$$x\in\left[-5;-\frac{5}{\sqrt6}\right)\cup\left(\frac{5}{\sqrt6};5\right].$$

Ответ: $$x\in\left[-5;-\frac{5}{\sqrt6}\right)\cup\left(\frac{5}{\sqrt6};5\right].$$

в) Решим неравенство $$\sqrt{\log_2(x^2+3x-24)}\le 2.$$

Сначала учтём, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\log_2(x^2+3x-24)\ge 0.$$

Из исходного неравенства получаем:

$$\log_2(x^2+3x-24)\le 4.$$

Значит, нужно решить систему:

$$\begin{cases} \log_2(x^2+3x-24)\ge 0,\\ \log_2(x^2+3x-24)\le 4. \end{cases}$$

Так как основание $$2>1,$$ имеем:

$$\begin{cases} x^2+3x-24\ge 1,\\ x^2+3x-24\le 16. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} x^2+3x-25\ge 0,\\ x^2+3x-40\le 0. \end{cases}$$

Решаем первое неравенство:

$$x^2+3x-25=0,\qquad D=3^2+4\cdot 25=109,$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{109}}{2}.$$

Тогда

$$x\le \frac{-3-\sqrt{109}}{2}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{-3+\sqrt{109}}{2}.$$

Решаем второе неравенство:

$$x^2+3x-40=0,\qquad D=3^2+4\cdot 40=169,$$

$$x_1=-8,\quad x_2=5,$$

$$-8\le x\le 5.$$

Пересечение даёт:

$$x\in\left[-8;\frac{-3-\sqrt{109}}{2}\right]\cup\left[\frac{-3+\sqrt{109}}{2};5\right].$$

Ответ: $$x\in\left[-8;\frac{-3-\sqrt{109}}{2}\right]\cup\left[\frac{-3+\sqrt{109}}{2};5\right].$$

г) Решим неравенство $$\log_{0,25}\sqrt[4]{x^2-6x-11}\ge -0,5.$$

Так как $$0,25=\frac14<1,$$ при переходе к показательной форме знак меняется:

$$\sqrt[4]{x^2-6x-11}\le 0,25^{-0,5}=2.$$

Тогда

$$x^2-6x-11\le 16,$$

$$x^2-6x-27\le 0.$$

Решаем квадратное неравенство:

$$x^2-6x-27=0,\qquad D=6^2+4\cdot 27=144,$$

$$x_{1,2}=\frac{6\pm 12}{2},$$

$$x_1=-3,\quad x_2=9.$$

Значит,

$$-3\le x\le 9.$$

Теперь область определения:

$$\sqrt[4]{x^2-6x-11}>0,$$

$$x^2-6x-11>0.$$

Решаем уравнение:

$$x^2-6x-11=0,\qquad D=6^2+4\cdot 11=80,$$

$$x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{80}}{2}=3\pm 2\sqrt5.$$

Тогда

$$x<3-2\sqrt5\quad \text{или}\quad x>3+2\sqrt5.$$

Пересекаем с $$[-3;9]$$:

$$x\in[-3;3-2\sqrt5)\cup(3+2\sqrt5;9].$$

Ответ: $$x\in[-3;3-2\sqrt5)\cup(3+2\sqrt5;9].$$