Упр.30.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt[4]{2\cos x}>1$$;

б) $$\sqrt[6]{1+2\cos 4x}>\sqrt{2}-\sqrt{3}$$;

в) $$\sqrt[4]{8\operatorname{ctg}\frac{x}{2}}<2$$;

г) $$\sqrt[3]{2\sin 3x-1}<-1$$.

а) $$\sqrt[4]{2\cos x}>1$$

Так как функция $$\sqrt[4]{t}$$ возрастает, то

$$2\cos x>1,$$

$$\cos x>\frac12.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt[6]{1+2\cos 4x}>\sqrt2-\sqrt3$$

Так как $$\sqrt2-\sqrt3<0,$$ а левая часть неотрицательна, то неравенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под корнем определено:

$$1+2\cos 4x\ge 0,$$

$$\cos 4x\ge -\frac12.$$

Тогда

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le 4x\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sqrt[4]{8\ctg\frac{x}{2}}<2$$

Возводим обе части в четвёртую степень:

$$8\ctg\frac{x}{2}<16,$$

$$\ctg\frac{x}{2}<2.$$

При этом обязательно

$$8\ctg\frac{x}{2}\ge 0,\quad \ctg\frac{x}{2}\ge 0.$$

Значит,

$$0\le \ctg\frac{x}{2}<2.$$

Для функции $$\ctg t$$ это даёт

$$\operatorname{arcctg}2+\pi n<\frac{x}{2}\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$2\operatorname{arcctg}2+2\pi n<x\le \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sqrt[3]{2\sin 3x-1}<-1$$

Так как функция $$\sqrt[3]{t}$$ возрастает, получаем

$$2\sin 3x-1<-1,$$

$$\sin 3x<0.$$

Тогда

$$-\pi+2\pi n<3x<2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;\\ &\text{б) } x\in\left[-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in\mathbb Z;\\ &\text{в) } x\in\left(2\operatorname{arcctg}2+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z;\\ &\text{г) } x\in\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\,\frac{2\pi n}{3}\right),\ n\in\mathbb Z. \end{aligned}$$