Упр.30.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{x}+3\sqrt{4x+5}<6$$;
   в) $$\sqrt{x}-2\sqrt{2x+3}>3$$;
   б) $$\sqrt{(x+3)(4x+5)}<6$$;
   г) $$\sqrt{(x-2)(2x+3)}>3$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x+3}\cdot\sqrt{4x+5}<6.$$

Область определения:

$$x+3\ge 0,\quad 4x+5\ge 0,$$

откуда $$x\ge -3,\quad x\ge -\frac54.$$

Значит, $$x\ge -\frac54.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\sqrt{(x+3)(4x+5)}<6 \;\Longrightarrow\; (x+3)(4x+5)<36.$$

Раскроем скобки:

$$4x^2+17x+15<36,$$

$$4x^2+17x-21<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=17^2-4\cdot 4\cdot(-21)=289+336=625,$$

$$x_{1,2}=\frac{-17\pm 25}{8},$$

$$x_1=-\frac{21}{4},\quad x_2=1.$$

Тогда

$$-\frac{21}{4}

С учётом ОДЗ получаем:

$$x\in\left[-\frac54;1\right).$$

б) $$\sqrt{(x+3)(4x+5)}<6.$$

ОДЗ:

$$(x+3)(4x+5)\ge 0.$$

После возведения в квадрат получаем то же неравенство:

$$4x^2+17x-21<0,$$

откуда

$$-\frac{21}{4}

Решаем вместе с ОДЗ $$(x+3)(4x+5)\ge 0.$$

Корни выражения: $$x=-3,\; x=-\frac54.$$

Тогда

$$(x+3)(4x+5)\ge 0 \;\Longrightarrow\; x\in(-\infty;-3]\cup\left[-\frac54;+\infty\right).$$

Пересечение с $$\left(-\frac{21}{4};1\right)$$ даёт

$$x\in\left(-\frac{21}{4};-3\right]\cup\left[-\frac54;1\right).$$

в) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{2x+3}\ge 3.$$

ОДЗ:

$$x-2\ge 0,\quad 2x+3\ge 0,$$

то есть $$x\ge 2.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\sqrt{(x-2)(2x+3)}\ge 3 \;\Longrightarrow\; (x-2)(2x+3)\ge 9.$$

Раскроем скобки:

$$2x^2-x-6\ge 9,$$

$$2x^2-x-15\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-15)=1+120=121,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 11}{4},$$

$$x_1=-\frac52,\quad x_2=3.$$

Тогда

$$\left(x+\frac52\right)(x-3)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -\frac52 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

С учётом ОДЗ $$x\ge 2$$ получаем

$$x\in[3;+\infty).$$

г) $$\sqrt{(x-2)(2x+3)}\ge 3.$$

ОДЗ:

$$(x-2)(2x+3)\ge 0.$$

После возведения в квадрат получаем:

$$(x-2)(2x+3)\ge 9,$$

$$2x^2-x-6\ge 9,$$

$$2x^2-x-15\ge 0.$$

Корни этого трёхчлена:

$$x_1=-\frac52,\quad x_2=3.$$

Значит,

$$x\le -\frac52 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

Так как ОДЗ для произведения $$(x-2)(2x+3)\ge 0$$ даёт

$$x\in(-\infty;-\frac32]\cup[2;+\infty),$$

то окончательно

$$x\in(-\infty;-\frac52]\cup[3;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac54;1\right);$$ б) $$x\in\left(-\frac{21}{4};-3\right]\cup\left[-\frac54;1\right);$$ в) $$x\in[3;+\infty);$$ г) $$x\in(-\infty;-\frac52]\cup[3;+\infty).$$