Упр.30.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{x^2-4x-3}<3$$; б) $$\sqrt[6]{x^3-2x^2+1}\geqslant1$$; в) $$\sqrt{36-x-12x^2}>5$$; г) $$\sqrt[7]{1-x^2-x^3}\leqslant1$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$\sqrt{x^2-4x-3}<3$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-4x-3<9$$

   $$x^2-4x-12<0$$

   $$\left(x+2\right)\left(x-6\right)<0$$

   Отсюда

   $$-2<x<6.$$

   Учитываем область определения:

   $$x^2-4x-3\ge 0$$

   $$x^2-4x-3=0$$

   $$D=16+12=28,\qquad x=2\pm\sqrt7.$$

   Тогда

   $$x\le 2-\sqrt7 \quad \text{или} \quad x\ge 2+\sqrt7.$$

   Пересечение с $$-2<x<6$$ даёт:

   $$x\in(-2;\,2-\sqrt7]\cup[2+\sqrt7;\,6).$$

2. $$\sqrt[6]{x^3-2x^2+1}\ge 1$$

   Так как корень шестой степени неотрицателен, возведём обе части в шестую степень:

   $$x^3-2x^2+1\ge 1$$

   $$x^3-2x^2\ge 0$$

   $$x^2(x-2)\ge 0.$$

   Произведение неотрицательно при

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

   Следовательно,

   $$x\in\{0\}\cup[2;\,+\infty).$$

3. $$\sqrt{36-x-12x^2}>5$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$36-x-12x^2>25$$

   $$12x^2+x-11<0$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=1+4\cdot 12\cdot 11=529,\qquad \sqrt D=23.$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 23}{24},\qquad x_1=-1,\quad x_2=\frac{11}{12}.$$

   Тогда

   $$12x^2+x-11=\left(x+1\right)\left(x-\frac{11}{12}\right)\cdot 12<0,$$

   откуда

   $$-1<x<\frac{11}{12}.$$

4. $$\sqrt[7]{1-x^2-x^3}\le 1$$

   Так как корень нечётной степени, возведём обе части в седьмую степень:

   $$1-x^2-x^3\le 1$$

   $$-x^2-x^3\le 0$$

   $$x^2(x+1)\ge 0.$$

   Произведение неотрицательно при

   $$x\ge -1.$$

   Значит,

   $$x\in[-1;\,+\infty).$$

Ответ: а) $$x\in(-2;\,2-\sqrt7]\cup[2+\sqrt7;\,6)$$; б) $$x\in\{0\}\cup[2;\,+\infty)$$; в) $$x\in\left(-1;\,\frac{11}{12}\right)$$; г) $$x\in[-1;\,+\infty).$$