Упр.30.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\sqrt{2-x}+\sqrt[3]{-10-x}=0$$;
б) $$\sqrt{2x-1}+\sqrt[3]{x+1}=3$$.
а) $$\sqrt{2-x}+\sqrt[3]{-10-x}=0.$$
Перенесём один корень в другую сторону:
$$\sqrt{2-x}=\sqrt[3]{10+x}.$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt{2-x}, \qquad g(x)=\sqrt[3]{10+x}.$$
На области определения $$x\le 2$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает. Значит, уравнение может иметь не более одного корня.
Проверим значение $$x=-2$$:
$$\sqrt{2-(-2)}+\sqrt[3]{-10-(-2)}=\sqrt4+\sqrt[3]{-8}=2-2=0.$$
Следовательно, $$x=-2$$ — корень уравнения.
б) $$\sqrt{2x-1}+\sqrt[3]{x+7}=3.$$
Перенесём кубический корень вправо:
$$\sqrt{2x-1}=3-\sqrt[3]{x+7}.$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt{2x-1}, \qquad g(x)=3-\sqrt[3]{x+7}.$$
Область определения: $$2x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge \frac12.$$
На этой области функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, уравнение имеет не более одного корня.
Проверим значение $$x=1$$:
$$\sqrt{2\cdot 1-1}+\sqrt[3]{1+7}=\sqrt1+\sqrt[3]{8}=1+2=3.$$
Следовательно, $$x=1$$ — корень уравнения.
Ответ: а) $$-2$$; б) $$1$$.
