Упр.30.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$4(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)=x$$; б) $$x+\sqrt{x}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x^2+2x}=3$$.

а) Обозначим левую часть уравнения и преобразуем его:

$$4(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)=x$$

Умножим обе части на $$\sqrt{1+x}+1$$:

$$4(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)(\sqrt{1+x}+1)=x(\sqrt{1+x}+1)$$

Так как $$(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)=x,$$ получаем

$$4x(\sqrt{1-x}+1)=x(\sqrt{1+x}+1).$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем $$x$$ за скобки:

$$x\bigl(4\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+3\bigr)=0.$$

Отсюда либо $$x=0,$$ либо

$$4\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+3=0.$$

Но при $$-1\le x\le 1$$ левая часть этого равенства не может быть равна нулю, так как

$$4\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+3\ge 4\cdot 0-1+3=2>0.$$

Значит, подходит только $$x=0.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$x+\sqrt{x}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x^2+2x}=3.$$

Заметим, что $$\sqrt{x^2+2x}=\sqrt{x(x+2)}.$$ Тогда

$$\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x}+\sqrt{x}=3,$$

или удобнее записать так:

$$\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\bigr)(\sqrt{x}+1)=3.$$

Умножим обе части на $$\sqrt{x+2}-\sqrt{x}$$:

$$\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\bigr)\bigl(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}\bigr)(\sqrt{x}+1)=3(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}).$$

Так как

$$\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\bigr)\bigl(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}\bigr)=2,$$

получаем

$$2(\sqrt{x}+1)=3(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}).$$

Обозначим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2$$. Имеем:

$$2(t+1)=3(\sqrt{t^2+2}-t).$$

Решая полученное уравнение, получаем

$$x=\frac14.$$

Проверка показывает, что это значение подходит.

Ответ: а) $$0$$; б) $$\frac14$$.