Упр.30.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{x^3+x^2+2}=3$$;
• б) $$\sqrt{x^3-4x^2+x+15}+\sqrt{x^3-4x^2-x+13}=x+1$$.

а) Обозначим $$a=\sqrt{x^3+x^2-1}, \quad b=\sqrt{x^3+x^2+2}.$$ Тогда

$$a+b=3.$$

Возведём в квадрат:

$$a^2+2ab+b^2=9.$$

Подставим $$a^2=x^3+x^2-1,$$ $$b^2=x^3+x^2+2$$:

$$2x^3+2x^2+1+2ab=9,$$

$$ab=4-x^3-x^2.$$

Теперь используем разность:

$$b^2-a^2=3,$$

то есть

$$b-a=\frac{3}{a+b}=1.$$

Тогда

$$b=a+1.$$

Подставим в $$a+b=3$$:

$$a+(a+1)=3,$$

$$2a=2,$$

$$a=1.$$

Следовательно,

$$x^3+x^2-1=1,$$

$$x^3+x^2-2=0,$$

$$(x-1)(x^2+2x+2)=0.$$

Отсюда $$x=1$$.

б) Перенесём корни в одну сторону и умножим на сопряжённое выражение:

$$\sqrt{x^3-4x^2+x+15}+\sqrt{x^3-4x^2-x+13}=x+1.$$

Тогда

$$\sqrt{x^3-4x^2+x+15}-\sqrt{x^3-4x^2-x+13}=\frac{2}{x+1},$$

при $$x\ne -1.$$

Возведём в квадрат:

$$x^3-4x^2+x+15+x^3-4x^2-x+13-2\sqrt{(x^3-4x^2+x+15)(x^3-4x^2-x+13)}=\frac{4}{(x+1)^2}.$$

После преобразований получаем уравнение

$$4x^3-17x^2-2x+51=0.$$

Проверкой находим корень $$x=3$$, значит

$$4x^3-17x^2-2x+51=(x-3)(4x^2-5x-17).$$

Решаем квадратное уравнение:

$$4x^2-5x-17=0,$$

$$D=25+272=297,$$

$$x=\frac{5\pm\sqrt{297}}{8}.$$

Проверка показывает, что значение $$x=\frac{5-\sqrt{297}}{8}$$ не подходит, а $$x=3$$ и $$x=\frac{5+\sqrt{297}}{8}$$ удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=3,\ \frac{5+\sqrt{297}}{8}$$.