Упр.30.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 30.29. Решите уравнение:
   а) $$\sqrt{x+\frac{7}{8}}+\sqrt{8x+3}+3=2\sqrt[3]{x}$$;
   б) $$\sqrt{3x+1}+5\sqrt[3]{x}=20-x+\sqrt{17-x}$$.

а) Рассмотрим уравнение как равенство двух функций:

$$f(x)=\sqrt{x+\frac78}+\sqrt{8x+3}+2\sqrt[3]{x}, \qquad g(x)=6-16x.$$

Область определения:

$$x+\frac78\ge 0,\quad 8x+3\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge -\frac38.$$

На этой области функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит уравнение может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=\frac18$$:

$$f\!\left(\frac18\right)=\sqrt{\frac18+\frac78}+\sqrt{8\cdot\frac18+3}+2\sqrt[3]{\frac18} =\sqrt1+\sqrt4+2\cdot\frac12=1+2+1=4,$$

$$g\!\left(\frac18\right)=6-16\cdot\frac18=6-2=4.$$

Следовательно, $$x=\frac18$$ — единственный корень.

б) Рассмотрим уравнение как равенство двух функций:

$$f(x)=\sqrt{3x+1}+5\sqrt[3]{x}, \qquad g(x)=20-x+\sqrt{17-x}.$$

Область определения:

$$3x+1\ge 0,\quad 17-x\ge 0 \;\Rightarrow\; -\frac13\le x\le 17.$$

На этом отрезке функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит уравнение имеет не более одного корня.

Проверим значение $$x=8$$:

$$f(8)=\sqrt{3\cdot 8+1}+5\sqrt[3]{8}=\sqrt{25}+5\cdot 2=5+10=15,$$

$$g(8)=20-8+\sqrt{17-8}=12+3=15.$$

Следовательно, $$x=8$$ — единственный корень.

Ответ

а) $$\frac18$$; б) $$8$$.