Упр.30.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$y=\sqrt{\lg x-1},$$ тогда $$y\ge 0$$ и исходное уравнение примет вид

$$\sqrt{(y+1)^2}+\sqrt{(y-1)^2}=y^2.$$

То есть

$$|y+1|+|y-1|=y^2.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$y\ge 1,$$ то

$$y+1+y-1=y^2,$$

$$2y=y^2,$$

$$y(y-2)=0.$$

С учётом условия $$y\ge 1$$ получаем $$y=2.$$

2) Если $$0\le y<1,$$ то

$$y+1+1-y=y^2,$$

$$2=y^2,$$

$$y=\sqrt2.$$

Но $$\sqrt2>1,$$ значит этот корень не подходит для данного случая.

Итак, $$y=2.$$ Тогда

$$\sqrt{\lg x-1}=2,$$

$$\lg x-1=4,$$

$$\lg x=5,$$

$$x=10^5.$$

б) Пусть $$y=\sqrt{5^x+7},$$ тогда $$y\ge 0$$ и уравнение преобразуется к виду

$$\sqrt{(y+1)^2}+\sqrt{y^2-y-6}=4,$$

то есть

$$|y+1|+\sqrt{y^2-y-6}=4.$$

Так как $$y\ge 0,$$ то $$|y+1|=y+1,$$ поэтому

$$y+1+\sqrt{y^2-y-6}=4,$$

$$\sqrt{y^2-y-6}=3-y.$$

Правая часть неотрицательна, значит $$y\le 3.$$ Возведём в квадрат:

$$y^2-y-6=(3-y)^2,$$

$$y^2-y-6=9-6y+y^2,$$

$$5y=15,$$

$$y=3.$$

Тогда

$$\sqrt{5^x+7}=3,$$

$$5^x+7=9,$$

$$5^x=2,$$

$$x=\log_5 2.$$

Ответ: а) $$10^5$$; б) $$\log_5 2$$.