Упр.30.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Обозначим $$a=\sqrt[3]{x+7},\quad b=\sqrt[3]{28-x}.$$ Тогда
$$a+b=5,\quad a^3+b^3=(x+7)+(28-x)=35.$$
Пусть $$a=5-b.$$ Тогда
$$(5-b)^3+b^3=35,$$
$$125-75b+15b^2-b^3+b^3=35,$$
$$15b^2-75b+90=0,$$
$$b^2-5b+6=0,$$
$$(b-2)(b-3)=0.$$
Отсюда $$b=2$$ или $$b=3.$$
1) Если $$\sqrt[3]{28-x}=2,$$ то $$28-x=8,$$ значит $$x=20.$$
2) Если $$\sqrt[3]{28-x}=3,$$ то $$28-x=27,$$ значит $$x=1.$$
Ответ: $$1;\ 20.$$
б) Обозначим $$a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{2x-3}.$$ Тогда
$$a+b=\sqrt[3]{12(x-1)}.$$
Возведём в куб:
$$(a+b)^3=12(x-1).$$
Так как $$a^3=x,\quad b^3=2x-3,$$ то
$$a^3+b^3=x+2x-3=3(x-1).$$
Следовательно,
$$(a+b)^3=4(a^3+b^3).$$
Тогда
$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=4a^3+4b^3,$$
$$a^3-a^2b-ab^2+b^3=0,$$
$$(a-b)(a^2-b^2)=0,$$
$$(a-b)^2(a+b)=0.$$
Отсюда либо $$a=b,$$ либо $$a=-b.$$
1) Если $$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{2x-3},$$ то $$x=2x-3,$$ значит $$x=3.$$
2) Если $$\sqrt[3]{x}=-\sqrt[3]{2x-3},$$ то $$x=3-2x,$$ значит $$x=1.$$
Ответ: $$1;\ 3.$$
в) Обозначим $$a=\sqrt[3]{x^2-1},\quad b=\sqrt[3]{x^2+18}.$$ Тогда
$$a+b=5,\quad a^3-b^3=(x^2-1)-(x^2+18)=-19.$$
Пусть $$a=5-b.$$ Тогда
$$(5-b)^3-b^3=-19,$$
$$125-75b+15b^2-b^3-b^3=-19,$$
$$2b^3-15b^2+75b-144=0,$$
$$(b-3)(2b^2-9b+48)=0.$$
У квадратного уравнения
$$D=9^2-4\cdot2\cdot48=81-384=-303<0,$$
поэтому $$b=3.$$ Тогда
$$\sqrt[3]{x^2+18}=3,$$
$$x^2+18=27,$$
$$x^2=9,$$
$$x=\pm 3.$$
Ответ: $$-3;\ 3.$$
г) Обозначим $$a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{x-16},\quad c=\sqrt[3]{x-8}.$$ Тогда
$$a+b=c.$$
Возведём в куб:
$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=c^3,$$
$$x+3\sqrt[3]{x^2}\sqrt[3]{x-16}+3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{(x-16)^2}+x-16=x-8.$$
После преобразований получаем
$$27x(x-16)(x-8)=(8-x)^3.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$27x(x-16)(x-8)+(x-8)^3=0,$$
$$(x-8)\bigl(27x(x-16)+(x-8)^2\bigr)=0,$$
$$(x-8)(28x^2-448x+64)=0,$$
$$7x^2-112x+16=0.$$
Тогда
$$D=112^2-4\cdot7\cdot16=12544-448=12096,$$
$$x=\frac{112\pm\sqrt{12096}}{14}=\frac{112\pm24\sqrt{21}}{14}=8\pm\frac{12\sqrt{21}}{7}.$$
Также $$x=8.$$
Ответ: $$8;\ 8\pm\frac{12\sqrt{21}}{7}.$$
