Упр.30.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=x-1$$; б) $$\sqrt{x+8+2\sqrt{x+7}}+\sqrt{x+1-\sqrt{x+7}}=4$$.

Пусть $$t=\sqrt{x-1},$$ тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2+1.$$

Уравнение принимает вид

$$\sqrt{t^2+1+2t}+\sqrt{t^2+1-2t}=t^2.$$

Так как

$$t^2+1+2t=(t+1)^2,\qquad t^2+1-2t=(t-1)^2,$$

то получаем

$$|t+1|+|t-1|=t^2.$$

Поскольку $$t\ge 0,$$ имеем $$|t+1|=t+1.$$ Тогда

$$t+1+|t-1|=t^2,$$

откуда

$$|t-1|=t^2-t-1.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$t\ge 1,$$ то $$|t-1|=t-1,$$ и тогда

   $$t-1=t^2-t-1,$$

   $$t^2-2t=0,$$

   $$t(t-2)=0.$$

   С учётом условия $$t\ge 1$$ получаем $$t=2.$$

2. Если $$0\le t<1,$$ то $$|t-1|=1-t,$$ и тогда

   $$1-t=t^2-t-1,$$

   $$t^2=2,$$

   $$t=\sqrt{2},$$

   но это противоречит условию $$t<1.$$ Значит, решений нет.

Итак, $$t=2.$$ Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sqrt{x-1}=2,$$

$$x-1=4,$$

$$x=5.$$

Ответ: $$5$$.