Упр.30.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{\left|-2x+42\right|+42}=2x$$;
   б) $$\sqrt{\left|5+12\cdot 3x-9x\right|}=3x-7$$.

а) Пусть $$t=2^x,$$ тогда $$t>0.$$ Получаем

$$\sqrt{|-2^x+42|}=2^x \;\Longrightarrow\; \sqrt{|42-t|}=t.$$

Возведём в квадрат:

$$|42-t|=t^2.$$

Рассмотрим два случая.

1) $$42-t=t^2,$$ тогда

$$t^2+t-42=0,$$

$$D=1+168=169,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 13}{2}.$$

Отсюда $$t_1=6,\; t_2=-7.$$ Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=6.$$

Тогда $$2^x=6,$$ значит

$$x=\log_2 6.$$

2) $$42-t=-t^2,$$ тогда

$$t^2-t+42=0,$$

$$D=1-168=-167<0,$$

действительных корней нет.

Следовательно, $$x=\log_2 6.$$

б) Пусть $$t=3^x,$$ тогда $$t>0.$$ Имеем

$$\sqrt{|5+12\cdot 3^x-9^x|}=3^x-7 \;\Longrightarrow\; \sqrt{|5+12t-t^2|}=t-7.$$

Так как правая часть неотрицательна, то $$t-7\ge 0,$$ то есть $$t\ge 7.$$ Возведём в квадрат:

$$|5+12t-t^2|=(t-7)^2.$$

Рассмотрим два случая.

1) $$5+12t-t^2=(t-7)^2,$$ тогда

$$5+12t-t^2=t^2-14t+49,$$

$$2t^2-26t+44=0,$$

$$t^2-13t+22=0,$$

$$D=169-88=81,$$

$$t_{1,2}=\frac{13\pm 9}{2}.$$

Получаем $$t_1=2,\; t_2=11.$$ Условию $$t\ge 7$$ удовлетворяет только $$t=11.$$ Тогда

$$3^x=11,$$

$$x=\log_3 11.$$

2) $$5+12t-t^2=-(t-7)^2,$$ тогда

$$5+12t-t^2=-t^2+14t-49,$$

$$2t=54,$$

$$t=27.$$

Тогда

$$3^x=27,$$

$$x=3.$$

Оба значения подходят.

Ответ: а) $$\log_2 6$$; б) $$\log_3 11,\; 3.$$