Упр.30.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\sqrt{-2x+20}=2x$$
- б) $$\sqrt{5+12\cdot 3x-9x}=3x-7$$
- в) $$\sqrt{7-0{,}5x}=0{,}5x-1$$
- г) $$5\sqrt{36x-2}=4(x+1)\cdot 9x-14$$
а) Обозначим $$t=2^x.$$ Тогда уравнение принимает вид
$$\sqrt{-t+20}=t.$$
Возведём в квадрат:
$$-t+20=t^2,$$
$$t^2+t-20=0.$$
$$D=1+80=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}.$$
Получаем $$t_1=-5$$ и $$t_2=4.$$ Так как $$t=2^x>0,$$ подходит только $$t=4.$$ Тогда
$$2^x=4,$$
$$x=2.$$
Ответ: $$2.$$
б) Обозначим $$t=3^x.$$ Тогда
$$\sqrt{5+12t-t^2}=t-7.$$
С учётом области определения имеем $$t-7\ge 0,$$ то есть $$t\ge 7.$$ Возведём в квадрат:
$$5+12t-t^2=(t-7)^2,$$
$$5+12t-t^2=t^2-14t+49,$$
$$2t^2-26t+44=0,$p>
$$t^2-13t+22=0.$$
$$D=169-88=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{13\pm 9}{2}.$$
Получаем$$t_1=11$$и$$t_2=2.$$Условию$$t\ge 7$$удовлетворяет только$$t=11.$$Значит,
$$3^x=11,$$
$$x=\log_3 11.$$
Ответ:$$\log_3 11.$$
в) Обозначим$$t=0{,}5^x.$$Тогда
$$\sqrt{7-t}=t-1.$$
Так как правая часть неотрицательна, то$$t-1\ge 0,$$значит$$t\ge 1.$$Возведём в квадрат:
$$7-t=(t-1)^2,$$
$$7-t=t^2-2t+1,$$
$$t^2-t-6=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}.$$
Получаем$$t_1=3$$и$$t_2=-2.$$С учётом$$t\ge 1$$подходит только$$t=3.$$Тогда
$$0{,}5^x=3,$$
$$x=\log_{0{,}5} 3.$$
Ответ:$$\log_{0{,}5} 3.$$
г) Обозначим$$t=36^x.$$Тогда уравнение имеет вид
$$5\sqrt{t-2}=4t-14.$$
Из области определения и неотрицательности правой части:
$$t-2\ge 0,\qquad 4t-14\ge 0,$$
откуда$$t\ge \frac{7}{2}.$$Возведём в квадрат:
$$25(t-2)=(4t-14)^2,$$
$$25t-50=16t^2-112t+196,$$
$$16t^2-137t+246=0.$$
$$D=137^2-4\cdot 16\cdot 246=3025,$$
$$t_{1,2}=\frac{137\pm 55}{32}.$$
Получаем$$t_1=6$$и$$t_2=\frac{41}{16}.$$Условию$$t\ge \frac{7}{2}$$удовлетворяет только$$t=6.$$Тогда
$$36^x=6,$$
$$x=\frac12.$$
Ответ:$$\frac12.$$
