Упр.30.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 30.21. Решите уравнение:
   а) $$(x+1)(x+4)-3\sqrt{x^2+5x+2}=6$$;
   б) $$x^2-3x+\sqrt{9x^2+x-\frac{4}{3}}=\frac{34}{27}-\frac{28x}{9}$$.

а) Обозначим $$y=\sqrt{x^2+5x+2}.$$ Тогда уравнение примет вид

$$x^2+5x+2-3\sqrt{x^2+5x+2}-4=0,$$

то есть

$$y^2-3y-4=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=3^2+4\cdot 4=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2},$$

откуда $$y_1=4,\quad y_2=-1.$$

Так как $$y=\sqrt{x^2+5x+2}\ge 0,$$ то подходит только $$y=4.$$ Тогда

$$\sqrt{x^2+5x+2}=4,$$

$$x^2+5x+2=16,$$

$$x^2+5x-14=0,$$

$$D=5^2+4\cdot 14=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{2},$$

$$x_1=-7,\quad x_2=2.$$

Проверка показывает, что оба корня подходят.

б) Обозначим

$$y=\sqrt{9x^2+x-\frac{4}{3}}.$$

Тогда уравнение можно записать так:

$$x^2-3x+y=\frac{34}{27}-\frac{28x}{9}.$$

После преобразований получаем

$$\sqrt{9x^2+x-\frac{4}{3}}=\frac{10}{9}-\frac{9x^2+x-\frac{4}{3}}{9}.$$

Пусть

$$t=\sqrt{9x^2+x-\frac{4}{3}},\quad t\ge 0.$$

Тогда

$$t=\frac{10}{9}-\frac{t^2}{9},$$

$$t^2+9t-10=0.$$

Решаем:

$$D=9^2+4\cdot 10=121,$$

$$t_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{2},$$

откуда $$t_1=1,\quad t_2=-10.$$

Так как $$t\ge 0,$$ берём только $$t=1.$$ Тогда

$$\sqrt{9x^2+x-\frac{4}{3}}=1,$$

$$9x^2+x-\frac{4}{3}=1,$$

$$27x^2+3x-7=0.$$

Находим корни:

$$D=3^2-4\cdot 27\cdot(-7)=765=9\cdot 85,$$

$$x=\frac{-3\pm 3\sqrt{85}}{54}=\frac{-1\pm \sqrt{85}}{18}.$$

Ответ: а) $$-7,\ 2$$; б) $$\frac{-1-\sqrt{85}}{18},\ \frac{-1+\sqrt{85}}{18}$$.