Упр.30.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}+4\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}=4$$;
  б) $$5\sqrt{\frac{x+3}{5x-1}}+\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}=6$$.

а) Обозначим $$y=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}.$$ Тогда уравнение примет вид

$$y+\frac{4}{y}=4.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-4y+4=0,$$

$$\left(y-2\right)^2=0,$$

$$y=2.$$

Возвращаемся к замене:

$$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}=2,$$

$$\frac{2x+3}{2x-1}=4,$$

$$2x+3=8x-4,$$

$$6x=7,$$

$$x=\frac{7}{6}.$$

Ответ: $$\frac{7}{6}.$$

б) Обозначим $$y=\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}.$$ Тогда

$$5y+\frac{1}{y}=6.$$

Умножим на $$y$$:

$$5y^2-6y+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=36-20=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm4}{10}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\qquad y_2=\frac{1}{5}.$$

1) Если $$\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}=1,$$ то

$$\frac{5x-1}{x+3}=1,$$

$$5x-1=x+3,$$

$$4x=4,$$

$$x=1.$$

2) Если $$\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}=\frac{1}{5},$$ то

$$\frac{5x-1}{x+3}=\frac{1}{25},$$

$$25(5x-1)=x+3,$$

$$125x-25=x+3,$$

$$124x=28,$$

$$x=\frac{7}{31}.$$

Проверим область допустимых значений: $$x\neq-3,$$ $$5x-1\ge 0,$$ $$x+3>0.$$ Оба найденных значения подходят.

Ответ: $$1;\ \frac{7}{31}.$$