Упр.30.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 30.2. Решите уравнение:
   
   а) $$\sqrt{x^2-4x-3}=3$$;
   
   в) $$\sqrt{36-x-12x^2}=5$$;
   
   б) $$\sqrt[6]{x^3-2x^2+1}=1$$;
   
   г) $$\sqrt[7]{1-x^2-x^3}=1$$.

а) $$\sqrt{x^2-4x-3}=3$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2-4x-3=9$$

$$x^2-4x-12=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=16+48=64$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=6$$

Проверка показывает, что оба корня подходят.

б) $$\sqrt[6]{x^3-2x^2+1}=1$$

Так как шестая степень корня, получаем:

$$x^3-2x^2+1=1$$

$$x^3-2x^2=0$$

$$x^2(x-2)=0$$

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=2$$

Оба значения подходят.

в) $$\sqrt{36-x-12x^2}=5$$

Возведём обе части в квадрат:

$$36-x-12x^2=25$$

$$12x^2+x-11=0$$

$$D=1^2-4\cdot 12\cdot(-11)=1+528=529$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 23}{24}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{11}{12}$$

Оба корня подходят.

г) $$\sqrt[7]{1-x^2-x^3}=1$$

Возведём обе части в седьмую степень:

$$1-x^2-x^3=1$$

$$x^3+x^2=0$$

$$x^2(x+1)=0$$

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-1$$

Оба значения подходят.

Ответ: а) $$-2,\,6$$; б) $$0,\,2$$; в) $$-1,\,\frac{11}{12}$$; г) $$-1,\,0$$.