Упр.30.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\sqrt{x}=x-6$$;
б) $$\sqrt{x^2+x}=2(x^2+x)-3$$;
в) $$\sqrt{5-x}=x+1$$;
г) $$x+13+\sqrt{18x^2-x-1}=18x^2$$.
а) $$\sqrt{x}=x-6.$$
ОДЗ: $$x-6\ge 0,\quad x\ge 6.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x=(x-6)^2$$
$$x=x^2-12x+36$$
$$x^2-13x+36=0$$
$$D=13^2-4\cdot 36=169-144=25$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 5}{2}$$
$$x_1=9,\quad x_2=4.$$
По ОДЗ подходит только $$x=9.$$
Ответ: $$9.$$
б) $$\sqrt{x^2+x}=2(x^2+x)-3.$$
Пусть $$y=x^2+x,$$ тогда
$$\sqrt{y}=2y-3.$$
ОДЗ: $$y\ge 0,\quad 2y-3\ge 0,\quad y\ge \frac32.$$
Возведём в квадрат:
$$y=(2y-3)^2$$
$$y=4y^2-12y+9$$
$$4y^2-13y+9=0$$
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=169-144=25$$
$$y_{1,2}=\frac{13\pm 5}{8}$$
$$y_1=\frac94,\quad y_2=1.$$
Так как $$y\ge \frac32,$$ то $$y= \frac94.$$
Тогда
$$x^2+x=\frac94$$
$$4x^2+4x-9=0$$
$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-9)=16+144=160$$
$$x=\frac{-4\pm \sqrt{160}}{8}=\frac{-4\pm 4\sqrt{10}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}.$$
Ответ: $$\frac{-1-\sqrt{10}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{10}}{2}.$$
в) $$\sqrt{5-x}=x+1.$$
ОДЗ: $$5-x\ge 0,\quad x+1\ge 0,$$ то есть $$-1\le x\le 5.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$5-x=(x+1)^2$$
$$5-x=x^2+2x+1$$
$$x^2+3x-4=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=-4.$$
По ОДЗ подходит только $$x=1.$$
Ответ: $$1.$$
г) $$x+13+\sqrt{18x^2-x-1}=18x^2.$$
Перенесём:
$$\sqrt{18x^2-x-1}=18x^2-x-13.$$
Пусть $$y=18x^2-x-1,$$ тогда
$$\sqrt{y}=y-12.$$
ОДЗ: $$y\ge 0,\quad y-12\ge 0,\quad y\ge 12.$$
Возведём в квадрат:
$$y=(y-12)^2$$
$$y=y^2-24y+144$$
$$y^2-25y+144=0$$
$$D=25^2-4\cdot 144=625-576=49$$
$$y_{1,2}=\frac{25\pm 7}{2}$$
$$y_1=16,\quad y_2=9.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$y=16.$$
Тогда
$$18x^2-x-1=16$$
$$18x^2-x-17=0$$
$$D=1+4\cdot 18\cdot 17=1225$$
$$x=\frac{1\pm 35}{36}.$$
Получаем
$$x_1=1,\quad x_2=-\frac{17}{18}.$$
Ответ: $$-\frac{17}{18},\ 1.$$
