Упр.30.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\sqrt{3x^2-2x+15}+\sqrt{3x^2-2x+8}=7$$;
б) $$\sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{2x^2+2x+9}$$;
в) $$\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2-3x+6}=3$$;
г) $$\sqrt{x^2+x+7}+\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{3x^2+3x+19}$$.
а) Пусть $$y=3x^2-2x+8,$$ тогда
$$\sqrt{y+7}+\sqrt{y}=7.$$
Возведём в квадрат:
$$y+7+2\sqrt{y(y+7)}+y=49,$$
$$2\sqrt{y^2+7y}=42-2y,$$
$$\sqrt{y^2+7y}=21-y.$$
Снова возведём в квадрат:
$$y^2+7y=(21-y)^2=441-42y+y^2,$$
$$49y=441,$$
$$y=9.$$
Тогда
$$3x^2-2x+8=9,$$
$$3x^2-2x-1=0.$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$
$$x=\frac{2\pm 4}{6}.$$
Получаем:
$$x_1=1,\quad x_2=-\frac13.$$
б) Пусть $$y=x^2+x+1,$$ тогда
$$\sqrt{y+3}+\sqrt{y}=\sqrt{2y+7}.$$
Возведём в квадрат:
$$y+3+2\sqrt{y(y+3)}+y=2y+7,$$
$$2\sqrt{y^2+3y}=4,$$
$$\sqrt{y^2+3y}=2.$$
Снова возведём в квадрат:
$$y^2+3y=4,$$
$$y^2+3y-4=0.$$
$$D=3^2+16=25,$$
$$y=\frac{-3\pm 5}{2}.$$
Отсюда
$$y_1=1,\quad y_2=-4.$$
Но $$y=x^2+x+1\ge \frac34,$$ значит $$y=-4$$ не подходит. Тогда
$$x^2+x+1=1,$$
$$x^2+x=0,$$
$$x(x+1)=0.$$
Следовательно,
$$x_1=0,\quad x_2=-1.$$
в) Пусть $$y=x^2-3x+3,$$ тогда
$$\sqrt{y}+\sqrt{y+3}=3.$$
Возведём в квадрат:
$$y+2\sqrt{y(y+3)}+y+3=9,$$
$$2\sqrt{y^2+3y}=6-2y,$$
$$\sqrt{y^2+3y}=3-y.$$
Снова возведём в квадрат:
$$y^2+3y=(3-y)^2=9-6y+y^2,$$
$$9y=9,$$
$$y=1.$$
Тогда
$$x^2-3x+3=1,$$
$$x^2-3x+2=0.$$
$$D=9-8=1,$$
$$x=\frac{3\pm 1}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=1,\quad x_2=2.$$
г) Пусть $$y=x^2+x+2,$$ тогда
$$\sqrt{y+5}+\sqrt{y}=\sqrt{3y+13}.$$
Возведём в квадрат:
$$y+5+2\sqrt{y(y+5)}+y=3y+13,$$
$$2\sqrt{y^2+5y}=y+8,$$
$$4(y^2+5y)=(y+8)^2.$$
Тогда
$$4y^2+20y=y^2+16y+64,$$
$$3y^2+4y-64=0.$$
$$D=4^2+4\cdot 3\cdot 64=784,$$
$$y=\frac{-4\pm 28}{6}.$$
Получаем:
$$y_1=4,\quad y_2=-\frac{16}{3}.$$
Так как $$y=x^2+x+2\ge \frac74,$$ то подходит только $$y=4.$$ Тогда
$$x^2+x+2=4,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$x=\frac{-1\pm 3}{2}.$$
Следовательно,
$$x_1=1,\quad x_2=-2.$$
Ответ
а) $$-\frac13; 1$$; б) $$-1; 0$$; в) $$1; 2$$; г) $$-2; 1$$.
