Упр.30.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12};$$
б) $$\sqrt{x}-\sqrt{x+1}+\sqrt{x+9}-\sqrt{x+4}=0;$$
в) $$\sqrt{2x+5}+\sqrt{5x+6}=\sqrt{12x+25};$$
г) $$\sqrt{5+\sqrt[3]{x}}+\sqrt{5-\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{x}.$$
а) Обозначим левую и правую части уравнения:
$$\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}.$$
Перенесём один корень вправо и возведём в квадрат:
$$\sqrt{x+1}=\sqrt{2x-12}+\sqrt{9-x}$$
$$x+1=(2x-12)+(9-x)+2\sqrt{(2x-12)(9-x)}.$$
Тогда
$$x+1=x-3+2\sqrt{(2x-12)(9-x)}$$
$$4=2\sqrt{(2x-12)(9-x)}$$
$$2=\sqrt{(2x-12)(9-x)}.$$
Снова возведём в квадрат:
$$4=(2x-12)(9-x)=18x-2x^2-108+12x,$$
$$2x^2-30x+112=0,$$
$$x^2-15x+56=0,$$
$$D=15^2-4\cdot 56=1,$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 1}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=7,\quad x_2=8.$$
Проверка области определения:
$$x+1\ge 0,\quad 9-x\ge 0,\quad 2x-12\ge 0,$$
откуда $$x\ge -1,\ x\le 9,\ x\ge 6.$$
Оба корня подходят.
б) Рассмотрим уравнение
$$\sqrt{x}-\sqrt{x+1}+\sqrt{x+9}-\sqrt{x+4}=0.$$
Перенесём корни с одинаковыми знаками:
$$\sqrt{x}+\sqrt{x+9}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}.$$
Возведём в квадрат:
$$x+2\sqrt{x(x+9)}+x+9=x+1+2\sqrt{(x+1)(x+4)}+x+4,$$
$$2\sqrt{x^2+9x}+9=2\sqrt{x^2+5x+4}+5,$$
$$\sqrt{x^2+9x}+2=\sqrt{x^2+5x+4}.$$
Снова возведём в квадрат:
$$x^2+9x+4\sqrt{x^2+9x}+4=x^2+5x+4,$$
$$4\sqrt{x^2+9x}=-4x,$$
$$\sqrt{x^2+9x}=-x.$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$x\le 0.$$ Возводим в квадрат:
$$x^2+9x=x^2,$$
$$9x=0,$$
$$x=0.$$
Проверка области определения: $$x\ge 0.$$ Значит, корень подходит.
в) Решим уравнение
$$\sqrt{2x+5}+\sqrt{5x+6}=\sqrt{12x+25}.$$
Перенесём один корень и возведём в квадрат:
$$2x+5+2\sqrt{(2x+5)(5x+6)}+5x+6=12x+25,$$
$$2\sqrt{10x^2+37x+30}=5x+14.$$
Возведём в квадрат:
$$4(10x^2+37x+30)=(5x+14)^2,$$
$$40x^2+148x+120=25x^2+140x+196,$$
$$15x^2+8x-76=0.$$
$$D=8^2+4\cdot 15\cdot 76=4624,$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 68}{30}.$$
Получаем:
$$x_1=2,\quad x_2=-\frac{38}{15}.$$
По области определения:
$$2x+5\ge 0,\quad 5x+6\ge 0,\quad 12x+25\ge 0,$$
то есть $$x\ge -\frac52,\ x\ge -\frac65,\ x\ge -\frac{25}{12}.$$
Подходит только $$x=2.$$
г) Решим уравнение
$$\sqrt{5+\sqrt[3]{x}}+\sqrt{5-\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{x}.$$
Обозначим $$t=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда
$$\sqrt{5+t}+\sqrt{5-t}=t.$$
Возведём в квадрат:
$$5+t+2\sqrt{(5+t)(5-t)}+5-t=t^2,$$
$$10+2\sqrt{25-t^2}=t^2.$$
$$2\sqrt{25-t^2}=t^2-10.$$
Снова возведём в квадрат:
$$4(25-t^2)=t^4-20t^2+100,$$
$$100-4t^2=t^4-20t^2+100,$$
$$t^4-16t^2=0,$$
$$t^2(t^2-16)=0.$$
Отсюда
$$t=0,\quad t=4,\quad t=-4.$$
Проверка в исходном уравнении показывает, что подходят только $$t=4.$$ Тогда
$$\sqrt[3]{x}=4,\quad x=64.$$
Ответ: а) $$7,\,8$$; б) $$0$$; в) $$2$$; г) $$64$$.
