Упр.30.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}=4$$;
б) $$\sqrt{3x+16}-2\sqrt{x-2}=3$$;
в) $$\sqrt{2x+6}+\sqrt{8-x}=5$$;
г) $$5\sqrt{3-x}-2\sqrt{x+10}=4$$.
а) $$\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}=4.$$
Возведём уравнение в квадрат:
$$x+3+2\sqrt{(x+3)(5-x)}+5-x=16,$$
$$2\sqrt{(x+3)(5-x)}=8,$$
$$\sqrt{(x+3)(5-x)}=4.$$
Снова возведём в квадрат:
$$(x+3)(5-x)=16,$$
$$-x^2+2x+15=16,$$
$$x^2-2x+1=0,$$
$$(x-1)^2=0,$$
$$x=1.$$
Проверка области определения:
$$x+3\ge 0,\quad 5-x\ge 0,$$
$$-3\le x\le 5.$$
Значение $$x=1$$ подходит.
б) $$\sqrt{3x+16}-2\sqrt{x-2}=3.$$
Перенесём второй корень вправо:
$$\sqrt{3x+16}=3+2\sqrt{x-2}.$$
Возведём в квадрат:
$$3x+16=9+12\sqrt{x-2}+4(x-2),$$
$$15-x=12\sqrt{x-2}.$$
Снова возведём в квадрат:
$$(15-x)^2=144(x-2),$$
$$225-30x+x^2=144x-288,$$
$$x^2-174x+513=0.$$
Найдём корни:
$$D=174^2-4\cdot 513=28224=168^2,$$
$$x_{1,2}=\frac{174\pm 168}{2},$$
$$x_1=3,\quad x_2=171.$$
Проверим ОДЗ:
$$3x+16\ge 0,\quad x-2\ge 0,$$
$$x\ge -\frac{16}{3},\quad x\ge 2,$$
то есть $$x\ge 2.$$
Подходит только $$x=3.$$
в) $$\sqrt{2x+6}+\sqrt{8-x}=5.$$
Возведём в квадрат:
$$2x+6+2\sqrt{(2x+6)(8-x)}+8-x=25,$$
$$2\sqrt{(2x+6)(8-x)}=11-x,$$
$$4(2x+6)(8-x)=(11-x)^2.$$
Раскроем скобки:
$$4(-2x^2+10x+48)=x^2-22x+121,$$
$$-8x^2+40x+192=x^2-22x+121,$$
$$9x^2-62x-71=0.$$
Найдём корни:
$$D=62^2+4\cdot 9\cdot 71=6400=80^2,$$
$$x_{1,2}=\frac{62\pm 80}{18},$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{71}{9}.$$
Проверим ОДЗ:
$$2x+6\ge 0,\quad 8-x\ge 0,$$
$$x\ge -3,\quad x\le 8.$$
Оба корня подходят.
г) $$5\sqrt{3-x}-2\sqrt{x+10}=4.$$
Перенесём второй корень вправо:
$$5\sqrt{3-x}=4+2\sqrt{x+10}.$$
Возведём в квадрат:
$$25(3-x)=16+16\sqrt{x+10}+4(x+10),$$
$$75-25x=56+16\sqrt{x+10}+4x,$$
$$19-29x=16\sqrt{x+10}.$$
Снова возведём в квадрат:
$$(19-29x)^2=256(x+10),$$
$$841x^2-1102x+361=256x+2560,$$
$$841x^2-1358x-2199=0.$$
Найдём корни:
$$D=1358^2+4\cdot 841\cdot 2199=3040^2,$$
$$x_{1,2}=\frac{1358\pm 3040}{2\cdot 841},$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{2199}{841}.$$
Проверим ОДЗ:
$$3-x\ge 0,\quad x+10\ge 0,$$
$$x\le 3,\quad x\ge -10.$$
Подходит только $$x=-1.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$3$$; в) $$-1,\ \frac{71}{9}$$; г) $$-1$$.
