Упр.30.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 30.15. Решите уравнение:
   а) $$\sqrt{\cos x}=\sin x$$;
   б) $$\sqrt{0{,}5+\sin x+\cos x}=\cos x$$;
   в) $$\sqrt{\cos 2x}=\sin x$$;
   г) $$\sqrt{\sin x+\sin 3x}=-\cos x$$.

а) $$\sqrt{\cos x}=\sin x$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\cos x=\sin^2 x.$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ получаем

$$\cos x=1-\cos^2 x,$$

$$\cos^2 x+\cos x-1=0.$$

Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда

$$y^2+y-1=0,$$

$$y=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$

Подходит только значение

$$\cos x=\frac{\sqrt5-1}{2},$$

так как $$\cos x\in[-1;1].$$

Кроме того, из исходного уравнения $$\sin x\ge 0.$$ Поэтому

$$x=\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{0{,}5+\sin x+\cos x}=\cos x$$

Возведём обе части в квадрат:

$$0{,}5+\sin x+\cos x=\cos^2 x.$$

Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

$$0{,}5+\sin x+\cos x-\cos^2 x=0,$$

$$0{,}5(1-\cos^2 x)+\sin x+\cos x-\cos^2 x=0,$$

$$0{,}5\sin^2 x+0{,}5\cos^2 x+\sin x+\cos x-\cos^2 x=0,$$

$$0{,}5(\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x)+(\sin x+\cos x)=0,$$

$$(\sin x+\cos x)(0{,}5\sin x-0{,}5\cos x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x+\cos x=0 \quad \text{или} \quad 0{,}5\sin x-0{,}5\cos x+1=0.$$

1) $$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tan x=-1,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$0{,}5\sin x-0{,}5\cos x+1=0 \Rightarrow \sin x-\cos x=-2,$$

что невозможно, так как $$\sin x-\cos x\in[-\sqrt2;\sqrt2].$$

Проверка области определения: $$\cos x\ge 0.$$ Для найденных значений это условие выполняется. Значит,

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sqrt{\cos 2x}=\sin x$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\cos 2x=\sin^2 x.$$

Так как $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x,$$ то

$$\cos^2 x-\sin^2 x=\sin^2 x,$$

$$\cos^2 x=2\sin^2 x.$$

С учётом $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$ получаем

$$1-\sin^2 x=2\sin^2 x,$$

$$3\sin^2 x=1,$$

$$\sin x=\pm\frac1{\sqrt3}.$$

Но из исходного уравнения $$\sin x\ge 0,$$ значит

$$\sin x=\frac1{\sqrt3}.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sqrt{\sin x+\sin 3x}=-\cos x$$

Уравнение равносильно системе:

$$\begin{cases} \cos x\le 0,\\ \sin x+\sin 3x=\cos^2 x. \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x,$$

$$2\sin 2x\cos x=\cos^2 x,$$

$$4\sin x\cos^2 x=\cos^2 x,$$

$$\cos^2 x(4\sin x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac14.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2) $$\sin x=\frac14 \Rightarrow x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n.$$

С учётом условия $$\cos x\le 0$$ остаются решения

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi-\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi-\arcsin\frac14+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$