Упр.30.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\sqrt{x^4-3x^2+4}=x^2-5$$; б) $$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1$$; в) $$\sqrt{x^4-3x^2+4}=5-x^2$$; г) $$\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2$$.
а) $$\sqrt{x^4-3x^2+4}=x^2-5$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x^2+4=(x^2-5)^2=x^4-10x^2+25$$
$$7x^2=21$$
$$x^2=3,\quad x=\pm\sqrt{3}$$
Проверим область определения:
$$x^2-5\ge 0 \Rightarrow x^2\ge 5$$
Полученные значения $$x=\pm\sqrt{3}$$ не подходят.
Ответ: корней нет.
б) $$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x-1=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1$$
$$2x^2-3x-2=0$$
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=25$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$x_1=2,\quad x_2=-\frac12$$
Проверим область определения:
$$x^2-1\ge 0 \Rightarrow x\le -1 \text{ или } x\ge 1$$
Число $$-\frac12$$ не подходит, а $$x=2$$ подходит.
Ответ: $$2$$.
в) $$\sqrt{x^4-3x^2+4}=5-x^2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x^2+4=(5-x^2)^2=25-10x^2+x^4$$
$$7x^2=21$$
$$x^2=3,\quad x=\pm\sqrt{3}$$
Проверим область определения:
$$5-x^2\ge 0 \Rightarrow x^2\le 5$$
Оба значения подходят.
Ответ: $$\pm\sqrt{3}$$.
г) $$\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^4-3x-1=(1-x^2)^2=1-2x^2+x^4$$
$$2x^2-3x-2=0$$
$$D=25$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$x_1=2,\quad x_2=-\frac12$$
Проверим область определения:
$$1-x^2\ge 0 \Rightarrow -1\le x\le 1$$
Подходит только $$x=-\frac12$$.
Ответ: $$-\frac12$$.
