Упр.30.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 30.13. Решите уравнение:
   а) $$\sqrt{x+12}=x$$;
   в) $$\sqrt{5+12x-x^2}=x-7$$;
   б) $$\sqrt{x^3+x^2+1}=x$$;
   г) $$\sqrt{x^3+x^2-1}=x$$.

а) $$\sqrt{x+12}=x$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+12=x^2$$

$$x^2-x-12=0$$

$$D=1+48=49$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}$$

$$x_1=-3,\quad x_2=4$$

С учётом области определения $$x\ge 0$$ подходит только $$x=4$$.

б) $$\sqrt{x^3+x^2+1}=x$$

Область определения: $$x\ge 0$$.

Возведём обе части в квадрат:

$$x^3+x^2+1=x^2$$

$$x^3+1=0$$

$$x=-1$$

Но $$x=-1$$ не принадлежит области определения, значит корней нет.

в) $$\sqrt{5+12x-x^2}=x-7$$

Область определения: $$x-7\ge 0$$, то есть $$x\ge 7$$.

Возведём обе части в квадрат:

$$5+12x-x^2=(x-7)^2$$

$$5+12x-x^2=x^2-14x+49$$

$$2x^2-26x+44=0$$

$$x^2-13x+22=0$$

$$D=169-88=81$$

$$x_{1,2}=\frac{13\pm 9}{2}$$

$$x_1=2,\quad x_2=11$$

С учётом условия $$x\ge 7$$ подходит только $$x=11$$.

г) $$\sqrt{x^3+x^2-1}=x$$

Область определения: $$x\ge 0$$.

Возведём обе части в квадрат:

$$x^3+x^2-1=x^2$$

$$x^3-1=0$$

$$x=1$$

Проверка: $$\sqrt{1^3+1^2-1}=\sqrt{1}=1$$, значит решение верно.

Ответ

а) $$4$$; б) корней нет; в) $$11$$; г) $$1$$.