Упр.30.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Покажем, что уравнение $$\sqrt{f(x)}=h(x)$$ равносильно системе

$$\begin{cases} f(x)=h^2(x),\\ h(x)\ge 0. \end{cases}$$

1) Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$\left(\sqrt{f(x)}\right)^2=\left(h(x)\right)^2,$$

откуда получаем

$$f(x)=h^2(x).$$

2) Так как левая часть уравнения $$\sqrt{f(x)}$$ неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:

$$h(x)\ge 0.$$

Кроме того, из равенства $$f(x)=h^2(x)$$ следует, что

$$f(x)\ge 0.$$

3) Значит, для выполнения исходного уравнения достаточно и необходимо, чтобы выполнялись оба условия:

$$\begin{cases} f(x)=h^2(x),\\ h(x)\ge 0. \end{cases}$$

Следовательно, исходное уравнение равносильно данной системе.

Ответ: $$\sqrt{f(x)}=h(x)\iff \begin{cases}f(x)=h^2(x),\\ h(x)\ge 0.\end{cases}$$