Упр.30.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите уравнение с параметром $$a$$:
- а) $$\sqrt{x+2}=\sqrt{2a-x}$$;
- б) $$\sqrt{x-2a}=\sqrt{4+2a-5x}$$;
- в) $$\sqrt{5a-2x+1}=\sqrt{6x-a-7}$$;
- г) $$\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4x+a}$$.
а) $$\sqrt{x+2}=\sqrt{2a-x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+2=2a-x$$
$$2x=2a-2$$
$$x=a-1$$
Проверим область допустимых значений:
$$x+2\ge 0,\qquad 2a-x\ge 0$$
Подставим найденное значение:
$$a-1+2\ge 0 \;\Rightarrow\; a\ge -1$$
При $$a\ge -1$$ корень существует и равен $$x=a-1$$. При $$a<-1$$ решений нет.
б) $$\sqrt{x-2a}=\sqrt{4+2a-5x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x-2a=4+2a-5x$$
$$6x=4+4a$$
$$x=\frac{2(a+1)}{3}$$
Проверим ОДЗ:
$$x-2a\ge 0,\qquad 4+2a-5x\ge 0$$
Подставим найденное $$x$$:
$$\frac{2(a+1)}{3}\ge 2a$$
$$2a+2\ge 6a$$
$$4a\le 2$$
$$a\le \frac12$$
Значит, при $$a\le \frac12$$ корень есть и равен $$x=\frac{2(a+1)}{3}$$. При $$a>\frac12$$ решений нет.
в) $$\sqrt{5a-2x+1}=\sqrt{6x-a-7}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$5a-2x+1=6x-a-7$$
$$8x=6a+8$$
$$x=\frac{3a}{4}+1$$
Проверим ОДЗ:
$$5a-2x+1\ge 0,\qquad 6x-a-7\ge 0$$
Подставим найденное $$x$$:
$$\frac{3a}{4}+1\ge \frac{a+7}{6}$$
$$18a+24\ge 4a+28$$
$$14a\ge 4$$
$$a\ge \frac27$$
Следовательно, при $$a\ge \frac27$$ корень есть и равен $$x=\frac{3a}{4}+1$$. При $$a<\frac27$$ решений нет.
г) $$\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4x+a}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$4-x^2=4x+a$$
$$x^2+4x+a-4=0$$
$$x=-2\pm \sqrt{8-a}$$
Проверим ОДЗ:
$$4-x^2\ge 0,\qquad 4x+a\ge 0$$
Для корня $$x=-2+\sqrt{8-a}$$ условие ОДЗ выполняется при $$a\le 8$$, а из существования корня нужно $$8-a\ge 0$$. Получаем $$a\le 8$$.
Для корня $$x=-2-\sqrt{8-a}$$ условие ОДЗ приводит к равенству только при $$a=8$$, то есть это тот же корень $$x=-2$$.
Итак, при $$a\le 8$$ уравнение имеет корень
$$x=-2+\sqrt{8-a}$$
При $$a>8$$ корней нет.
Ответ:
а) если $$a\ge -1$$, то $$x=a-1$$; если $$a<-1$$, то корней нет.
б) если $$a\le \frac12$$, то $$x=\frac{2(a+1)}{3}$$; если $$a>\frac12$$, то корней нет.
в) если $$a\ge \frac27$$, то $$x=\frac{3a}{4}+1$$; если $$a<\frac27$$, то корней нет.
г) если $$a\le 8$$, то $$x=-2+\sqrt{8-a}$$; если $$a>8$$, то корней нет.
