Упр.30.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\sqrt{\lg(1-x)}=\sqrt{\lg x}$$;
б) $$\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{x-1}}=\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{3-x}}$$;
в) $$\sqrt{\log_{0,3}(1-x)}=\sqrt{\log_{0,3}x}$$;
г) $$\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{x-1}}=\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{9-x}}$$.
а) $$\sqrt{\lg(1-x)}=\sqrt{\lg x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\lg(1-x)=\lg x$$
Тогда
$$1-x=x,$$
$$2x=1,$$
$$x=\frac12.$$
Проверим область определения:
$$\lg x\ge 0,\quad x>0,$$
$$x\ge 1.$$
Число $$x=\frac12$$ не принадлежит ОДЗ, значит, корней нет.
б) $$\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{x-1}}=\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{3-x}}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\log_{0,2}\sqrt{x-1}=\log_{0,2}\sqrt{3-x}$$
Тогда
$$\sqrt{x-1}=\sqrt{3-x},$$
$$x-1=3-x,$$
$$2x=4,$$
$$x=2.$$
Проверим ОДЗ:
$$\log_{0,2}\sqrt{x-1}\ge 0,$$
так как основание $$0,2<1,$$ то
$$0<\sqrt{x-1}\le 1,$$
$$0<x-1\le 1,$$
$$1<x\le 2.$$
Число $$x=2$$ подходит.
в) $$\sqrt{\log_{0,3}(1-x)}=\sqrt{\log_{0,3}x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\log_{0,3}(1-x)=\log_{0,3}x$$
Тогда
$$1-x=x,$$
$$2x=1,$$
$$x=\frac12.$$
Проверим ОДЗ:
$$\log_{0,3}x\ge 0,$$
так как основание $$0,3<1,$$ то
$$0<x\le 1.$$
Число $$x=\frac12$$ подходит.
г) $$\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{x-1}}=\sqrt{\log_{0,2}\sqrt{9-x}}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\log_{0,2}\sqrt{x-1}=\log_{0,2}\sqrt{9-x}$$
Тогда
$$\sqrt{x-1}=\sqrt{9-x},$$
$$x-1=9-x,$$
$$2x=10,$$
$$x=5.$$
Проверим ОДЗ:
$$\log_{0,2}\sqrt{x-1}\ge 0,$$
так как основание $$0,2<1,$$ то
$$0<\sqrt{x-1}\le 1,$$
$$0<x-1\le 1,$$
$$1<x\le 2.$$
Число $$x=5$$ не принадлежит ОДЗ, значит, корней нет.
Ответ
а) корней нет; б) $$2$$; в) $$\frac12$$; г) корней нет.
