Упр.3.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите значение выражения $$x^2+\frac{1}{x^2}$$, если:
   а) $$x+\frac{1}{x}=3$$;
   б) $$x-\frac{1}{x}=5$$;
   в) $$x+\frac{1}{x}=t$$;
   г) $$x-\frac{1}{x}=t$$.

Используем формулы:

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$$

$$\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}$$

1. Если $$x+\frac{1}{x}=3,$$ то

   $$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=3^2-2=7.$$

2. Если $$x-\frac{1}{x}=5,$$ то

   $$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2=5^2+2=27.$$

3. Если $$x+\frac{1}{x}=t,$$ то

   $$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=t^2-2.$$

4. Если $$x-\frac{1}{x}=t,$$ то

   $$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2=t^2+2.$$

Ответ: а) $$7$$; б) $$27$$; в) $$t^2-2$$; г) $$t^2+2$$.