Упр.3.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$x^6-4x^3+3=0$$; б) $$(2-x)^6+9(2-x)^3+8=0$$; в) $$x^6-7x^3-8=0$$; г) $$(2-x-x^2)^6-14{,}7(2-x-x^2)^3+57=0$$.

Положим $$t=x^3.$$ Тогда уравнение

$$x^6-4x^3+3=0$$

примет вид

$$t^2-4t+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,$$

$$t_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=1,\quad t_2=3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^3=1 \Rightarrow x=1,$$

$$x^3=3 \Rightarrow x=\sqrt[3]{3}.$$

Ответ: $$1;\ \sqrt[3]{3}.$$

Положим $$t=(2-x)^3.$$ Тогда

$$(2-x)^6+9(2-x)^3+8=0$$

переходит в

$$t^2+9t+8=0.$$

Решим уравнение:

$$D=9^2-4\cdot 1\cdot 8=81-32=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{-9\pm 7}{2}.$$

Тогда

$$t_1=-1,\quad t_2=-8.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$(2-x)^3=-1 \Rightarrow 2-x=-1 \Rightarrow x=3,$$

$$(2-x)^3=-8 \Rightarrow 2-x=-2 \Rightarrow x=4.$$

Ответ: $$3;\ 4.$$

Положим $$t=x^3.$$ Тогда

$$x^6-7x^3-8=0$$

примет вид

$$t^2-7t-8=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-8)=49+32=81,$$

$$t_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=-1,\quad t_2=8.$$

Тогда

$$x^3=-1 \Rightarrow x=-1,$$

$$x^3=8 \Rightarrow x=2.$$

Ответ: $$-1;\ 2.$$

Положим $$t=(2-x-x^2)^3.$$ Тогда уравнение

$$(2-x-x^2)^6-14{,}7(2-x-x^2)^3+57=0$$

переходит в

$$t^2-14{,}7t+57=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=14{,}7^2-4\cdot 57=216{,}09-228=-11{,}91<0.$$

Следовательно, действительных корней нет.

Ответ: корней нет.