Упр.3.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$x^4-3x^2+2=0$$;

в) $$x^4-7x^2+3=0$$;

б) $$x^4-9x^2-10=0$$;

г) $$x^4-12{,}3x^2+45=0$$.

Рассмотрим уравнения вида $$x^4+ax^2+b=0.$$ Сделаем замену $$t=x^2,\quad t\ge 0.$$ Тогда каждое уравнение сводится к квадратному относительно $$t$$.

1. $$x^4-3x^2+2=0$$

   Пусть $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2-3t+2=0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0,$$

   откуда $$t_1=1,\; t_2=2.$$

   Тогда

   $$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$

   $$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}.$$

   Ответ: $$x=\pm 1,\ \pm \sqrt{2}.$$

2. $$x^4-9x^2-10=0$$

   Пусть $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2-9t-10=0.$$

   $$D=9^2+4\cdot 10=81+40=121,$$

   $$t_{1,2}=\frac{9\pm 11}{2}.$$

   Получаем $$t_1=10,\; t_2=-1.$$

   Так как $$t=x^2\ge 0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит. Значит,

   $$x^2=10 \Rightarrow x=\pm \sqrt{10}.$$

   Ответ: $$x=\pm \sqrt{10}.$$

3. $$x^4-7x^2+3=0$$

   Пусть $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2-7t+3=0.$$

   $$D=7^2-4\cdot 3=49-12=37,$$

   $$t_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{37}}{2}.$$

   Оба значения положительны, значит

   $$x=\pm \sqrt{\frac{7+\sqrt{37}}{2}},\quad x=\pm \sqrt{\frac{7-\sqrt{37}}{2}}.$$

   Ответ: $$x=\pm \sqrt{\frac{7+\sqrt{37}}{2}},\ \pm \sqrt{\frac{7-\sqrt{37}}{2}}.$$

4. $$x^4-12{,}3x^2+45=0$$

   Пусть $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2-12{,}3t+45=0.$$

   $$D=12{,}3^2-4\cdot 45=151{,}29-180=-28{,}71<0.$$

   Следовательно, действительных корней нет.

   Ответ: корней нет.