Упр.3.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите целые корни уравнения:

а) $$x^3+3x^2-5x-4=0$$;
б) $$x^4-3x^3+4x^2-9x+3=0$$;
в) $$x^4+2x^3-5x^2-4x+6=0$$;
г) $$x^5-x^4-5x^3+5x^2+4x-4=0$$.

а) Проверим целые делители свободного члена $$-4$$: $$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4.$$

Подходит значение $$x=-4$$:

$$(-4)^3+3(-4)^2-5(-4)-4=-64+48+20-4=0.$$

Разделим многочлен на $$x+4$$:

$$x^3+3x^2-5x-4=(x+4)(x^2-x-1).$$

Уравнение $$x^2-x-1=0$$ не имеет целых корней, так как

$$D=1+4=5,$$

а $$\sqrt{5}$$ не является целым числом. Значит, целый корень только один:

б) Проверим целые делители свободного члена $$3$$: $$\pm 1,\ \pm 3.$$

Подстановка этих значений в уравнение

$$x^4-3x^3+4x^2-9x+3=0$$

не даёт нуля, значит, целых корней нет.

в) Проверим целые делители свободного члена $$6$$: $$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6.$$

Подходит значение $$x=1$$:

$$1^4+2\cdot 1^3-5\cdot 1^2-4\cdot 1+6=1+2-5-4+6=0.$$

Разделим многочлен на $$x-1$$:

$$x^4+2x^3-5x^2-4x+6=(x-1)(x^3+3x^2-2x-6).$$

Теперь проверим целые корни кубического множителя. Подходит $$x=-3$$:

$$(-3)^3+3(-3)^2-2(-3)-6=-27+27+6-6=0.$$

Тогда

$$x^3+3x^2-2x-6=(x+3)(x^2-2).$$

Из уравнения $$x^2-2=0$$ получаем $$x=\pm \sqrt{2}$$, это не целые числа. Значит, целые корни:

г) Вынесем общий множитель:

$$x^5-x^4-5x^3+5x^2+4x-4=(x-1)(x^4-5x^2+4).$$

Решим уравнение

$$x^4-5x^2+4=0.$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-5t+4=0,$$

$$t_1=1,\quad t_2=4.$$

Следовательно,

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$

$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$

Ответ: а) $$-4$$; б) целых корней нет; в) $$-3,\ 1$$; г) $$-2,\ -1,\ 1,\ 2$$.