Упр.3.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых данное число $$p$$ является корнем данного уравнения; для каждого найденного значения $$a$$ решите данное уравнение:
а) $$x^3+3x^2-7x+a=0$$, $$p=2$$;
б) $$x^3-ax^2-5x+4=0$$, $$p=1$$;
в) $$2x^3-5x^2+ax-4=0$$, $$p=-1$$;
г) $$ax^3-3x^2-5x-a^2=0$$, $$p=-1$$.
а) Подставим $$x=2$$ в уравнение $$x^3+3x^2-7x+a=0$$:
$$2^3+3\cdot 2^2-7\cdot 2+a=0$$
$$8+12-14+a=0$$
$$a=-6.$$
Тогда уравнение имеет вид:
$$x^3+3x^2-7x-6=0.$$
Проверим корень $$x=2$$ и разложим на множители:
$$x^3+3x^2-7x-6=(x-2)(x^2+5x+3).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2+5x+3=0,$$
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 3=25-12=13,$$
$$x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}.$$
Итак, $$x=2,\ \frac{-5-\sqrt{13}}{2},\ \frac{-5+\sqrt{13}}{2}.$$
б) Подставим $$x=1$$ в уравнение $$x^3-ax^2-5x+4=0$$:
$$1^3-a\cdot 1^2-5\cdot 1+4=0$$
$$1-a-5+4=0$$
$$a=0.$$
Тогда уравнение:
$$x^3-5x+4=0.$$
Так как $$x=1$$ — корень, получаем:
$$x^3-5x+4=(x-1)(x^2+x-4).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2+x-4=0,$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17,$$
$$x=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}.$$
Следовательно, $$x=1,\ \frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}.$$
в) Подставим $$x=-1$$ в уравнение $$2x^3-5x^2+ax-4=0$$:
$$2(-1)^3-5(-1)^2+a(-1)-4=0$$
$$-2-5-a-4=0$$
$$a=-11.$$
Тогда уравнение:
$$2x^3-5x^2-11x-4=0.$$
Разложим на множители:
$$2x^3-5x^2-11x-4=(x+1)(2x^2-7x-4).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$2x^2-7x-4=0,$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot (-4)=49+32=81,$$
$$x=\frac{7\pm 9}{4}.$$
Отсюда $$x=-\frac12$$ и $$x=4.$$
Итак, $$x=-1,\ -\frac12,\ 4.$$
г) Подставим $$x=-1$$ в уравнение $$ax^3-3x^2-5x-a^2=0$$:
$$a(-1)^3-3(-1)^2-5(-1)-a^2=0$$
$$-a-3+5-a^2=0$$
$$a^2+a-2=0.$$
Решаем это уравнение:
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9,$$
$$a=\frac{-1\pm 3}{2}.$$
Получаем $$a=-2$$ или $$a=1.$$
1) Если $$a=-2$$, то
$$-2x^3-3x^2-5x-4=0.$$
Так как $$x=-1$$ — корень, имеем:
$$-2x^3-3x^2-5x-4=(x+1)(-2x^2-x-4).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$2x^2+x+4=0,$$
$$D=1-32=-31<0.$$
Действительных корней нет, кроме $$x=-1.$$
2) Если $$a=1$$, то
$$x^3-3x^2-5x-1=0.$$
Разложение:
$$x^3-3x^2-5x-1=(x+1)(x^2-4x-1).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2-4x-1=0,$$
$$D=16+4=20,$$
$$x=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}=2\pm \sqrt{5}.$$
Значит, $$x=-1,\ 2-\sqrt{5},\ 2+\sqrt{5}.$$
Ответ
а) $$a=-6$$; $$x=2,\ \frac{-5-\sqrt{13}}{2},\ \frac{-5+\sqrt{13}}{2}.$$
б) $$a=0$$; $$x=1,\ \frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}.$$
в) $$a=-11$$; $$x=-1,\ -\frac12,\ 4.$$
г) $$a=-2$$; $$x=-1.$$ При $$a=1$$; $$x=-1,\ 2-\sqrt{5},\ 2+\sqrt{5}.$$
