Упр.3.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- 3.33. Используя результаты номера 3.31, решите уравнение:
а) $$x^4+x^3-4x^2-x+1=0$$;
б) $$x^4+x^2-4x-3=0$$;
в) $$x^4-5x^2-6x-5=0$$;
г) $$x^4-5x-6=0$$.
а) $$x^4+x^3-4x^2-x+1=0$$
Разложим на множители:
$$\left(x^2-x-1\right)\left(x^2+2x-1\right)=0.$$
Тогда
$$x^2-x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2+2x-1=0.$$
1) $$x^2-x-1=0$$
$$D=1+4=5,$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$
2) $$x^2+2x-1=0$$
$$D=4+4=8,$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt8}{2}=-1\pm\sqrt2.$$
Ответ: $$\frac{1\pm\sqrt5}{2},\ -1\pm\sqrt2.$$
б) $$x^4+x^2-4x-3=0$$
Разложим на множители:
$$\left(x^2-x-1\right)\left(x^2+x+3\right)=0.$$
Тогда
$$x^2-x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2+x+3=0.$$
1) $$x^2-x-1=0$$
$$D=1+4=5,$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$
2) $$x^2+x+3=0$$
$$D=1-12=-11<0,$$
действительных корней нет.
Ответ: $$\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$
в) $$x^4-5x^2+6x-5=0$$
Разложим на множители:
$$\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x-5\right)=0.$$
Тогда
$$x^2-x+1=0 \quad \text{или} \quad x^2+x-5=0.$$
1) $$x^2-x+1=0$$
$$D=1-4=-3<0,$$
действительных корней нет.
2) $$x^2+x-5=0$$
$$D=1+20=21,$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}.$$
Ответ: $$\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}.$$
г) $$x^4-5x-6=0$$
Разложим на множители:
$$\left(x^2+x+3\right)\left(x^2-x-2\right)=0.$$
Тогда
$$x^2+x+3=0 \quad \text{или} \quad x^2-x-2=0.$$
1) $$x^2+x+3=0$$
$$D=1-12=-11<0,$$
действительных корней нет.
2) $$x^2-x-2=0$$
$$D=1+8=9,$$
$$x_1=\frac{1-3}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{1+3}{2}=2.$$
Ответ: $$-1,\ 2.$$
